吾日三省吾身（五）
今天看了数论，把老师发的博客看了一下，也回顾了一些离散数学上面的知识……先列出几个常用的性质：
- da≡db (mod m) 则a≡b (mod m/(m,d) ) （这在取遍剩余系会用到）
- a≡b (mod m) m’|m , a≡b (mod m’)
- a≡b (mod mi) i=1…k 等价于 a≡b (mod M) M=[m1,m2,…mk]
一般剩余系：
剩余系就是可能余数组成的集合，简化剩余系也称既约剩余系，是模n的完全剩余系的一个子集，其中每个元素与n互素。 - 模p的剩余系{rk}，若(p,d)=1那么{drk}也是模p的剩余系
这个很重要，如果求ax mod p的既约剩余系的大小，我们只要利用同余式的性质1
转化为xa/gcd(a,p) mod (p/gcd(a,p))，根据这个理论 x取值个数就是p/gcd(a,p) - 设模m1的既约剩余系为R1,m2的既约剩余系为R2，m1m2互质，则模m1m2的既约剩余系为R={x=m2x1+m1x2 (mod m1m2) | x1∈R1,x2∈R2}
这个结论证明可以考虑任意两个x互不同余即可（作差判断）
这就告诉我们一个很厉害的东西 S(M)表示M既约剩余系的大小的话，S(M)=S(m1)*S(m2) - 这个结论推广到k维就是,设模mk的既约剩余系为Rk, mk两两互质，M=∏mi 则模M的既约剩余系为R={ ∑Mmi-1ai (mod M) | xi∈Ri }
因此以后我们求模M的剩余系大小，可以对M质因数分解分别求出后再相乘
阶、原根、指标：
阶（又叫指数）：a,m为互素整数且m>=2 ，则使 ar≡1(mod m) 成立的最小正整数 r 记为 a 模 m 的指数，记作ord_m(a)
根据欧拉定理，显然ord_m(a)一定是φ(m)的约数
阶有几个性质： 1. ord_m(a)=xy 则 ord_m(ax)=y 2.ord_m(a)=x, ord_m(b)=y (x,y)=1 则ord_m(ab)=xy; - ord_m(a)=t ord_m(ax)=t/gcd(t,x) （其实就是性质1的变形）
原根：阶中要求(a,m)互素，所以a^x与m互素，所以ax模m的余数与m互素，这样这个余数只可能有 φ(m) 种不同的取值。
（这里我想到了了一个很有意思的结论：1~n内与n互质的数的和为{n*φ(n)+[n==1]} /2
这里考虑gcd(i,n)=1，则gcd(n,n-i)=1，证明用反证法即可。）
当满足ord_m(a)=φ(m)的a称作模m的原根，记作g。
这有一个显然的结论若 x=0,1,2,3,…,φ(m)-1，则 gx 模 m 的余数都和 m 互素，并且模 m 两两不同余。
指标：简单的说，就是一切小于m且与m互质的数r，都存在唯一个数k(k<φ(m))，使得gk≡r (mod m)
我们就把k叫作r的指标，记作I®
这是一个非常有用的性质，之后的题目我们会经常看到他。
指标有这么几个性质：1. I(ab)≡I(a)+I(b) (mod m) 2. I(ak)≡kI(a) (mod m)
简而言之，指标就像是数论里的取对数。
原根和求指标将在后面的同余方程中起到巨大作用，但是首先我们要知道什么数有原根
直接上结论： 当且仅当m=2,4,pk,2pk时才有原根，p是某一奇素数
事实上，一个数p的原根的数目为φ(φ§) （考虑若g是p的原根，gu是p的原根当且仅当gcd(u,φ§)=1）
另外我们注意到2的原根是1，4的原根是3，但其他2次幂是没有原根的（在高次剩余里，模2次幂会带来不小的麻烦）
事实上有一个恒等式：aφ(xy)/2≡1 (mod xy) (x，y互素且a与xy互素）
在2次幂的时候就有a^(2k)≡1 (mod 2k+2) 恒成立，所以2的3次及以上次幂没有原
（补充一个很有意思的结论：5模2k+2的指数正好是2k ）
一个数的原根不止一个，一般就找最小的那个就可以了
其他的原根可用最小原根的gu表示（gu是p的原根当且仅当gcd(u,φ§)=1）
找m的最小原根一般就是暴力枚举g,然后穷举m的每个质因数p，判断gφ(m)/p≡1 (mod m)是否成立（成立的话就不是原根），这些数学素养都是在将来用的到的地方发挥达到作用，整理的有点乱，不过看起来也算顺眼，困了，睡觉
更多推荐
吾日三省吾身（五）
发布评论