纯数学教程 Page 203 例XLI (5)

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求$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$所有的根以及重根的阶.

解答:这道题的解决有赖于如下的结论:

1.不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要条件是$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式.

该结论的证明是简单的.

因此如果$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$有实数根$\alpha$的话当且仅当不可约多项式$x-a$为多项式$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$和$4x^3+9x^2-6x-11$的公因式.利用辗转相除法，易得$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$和$4x^3+9x^2-6x-11$的最大公因式为$x+1$.(我不是用辗转相除法算的，我借助的是wolfram alpha,偷了个懒:)可见$x+1$至少是$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$的二重根.$x+1$的重数可能会更高，因此我要继续验证下去.我来看看
\begin{equation}
12x^2+18x-6
\end{equation}是否整除$x+1$.答案是否!因此$x+1$是$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$的二重根.再用试根法容易得出$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$的另外两个单根为-3和2,因此

$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$的所有实数根为-1,-3,2，-1重根的阶为3.-3,2的重根阶数为1.

求$f(x)=x^6+2x^5-8x^4-14x^3+11x^2+28x+12=0$的所有的根以及重根的阶.

解答:我们来看$f(x)$和$f'(x)$的最大公因式.根据辗转相除法可得最大公因式为1，因此$f(x)$若有实数根,则实数根的重根阶数至多为1.用试根法容易算出三个根分别为-3，-1，2.

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