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复积分的计算
目录
- 1. 二元实函数的线积分
- 2. 原函数
- 3. 柯西积分定理
- 4. 柯西积分公式
- 5. 高阶导数
- 6. 留数定理🌻🌻🌻
1. 二元实函数的线积分
(1)一般方程
∫ c f ( z ) d z = ∫ c u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y + i ∫ c v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y . \int_c f(z)dz\, = \int_c u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_c v(x,y)dx+u(x,y)dy . ∫cf(z)dz=∫cu(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫cv(x,y)dx+u(x,y)dy.
利用一次定理后,直接变为第二类曲线积分的计算,复平面变为曲线所在平面。
(2)参数方程
∫ C f ( z ) d z = ∫ a b f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t . \int_Cf(z)dz =\int_{a}^{b}f(~z(t)~)z'(t)dt . ∫Cf(z)dz=∫abf( z(t) )z′(t)dt.
难点在于表达出单变量的参数方程
2. 原函数
∫ a b f ( z ) d z = G ( b ) − G ( a ) \int_a^b f(z)dz\, = G(b) - G(a) ∫abf(z)dz=G(b)−G(a)
常见使用情况:
有积分的上下限(起始点和终止点)
3. 柯西积分定理
(1)封闭曲线积分为0
(2)改变积分路径
在解析区域的积分与路径无关。
(3)转换到内圆的积分
∮ C d z ( z − z 0 ) n , C 为 以 z 0 为 圆 心 , 任 意 半 径 的 圆 。 \oint_{C} \tfrac{dz}{(z-z_0) ^n},C为以z0为圆心,任意半径的圆。 ∮C(z−z0)ndz,C为以z0为圆心,任意半径的圆。
- 当n=1时,积分值为 2 π i 2\pi i 2πi
- 当n≠1时,积分值为 0
语言描述:以奇点为圆心的圆,积分值与半径无关。
4. 柯西积分公式
设f(z)在简单闭曲线C所围成的 区域 D 内解析,在 D∪C内连续,z0是D内任一点,则
∮ C f ( z ) z − z 0 d z = 2 π i f ( z 0 ) . \oint_{C} \frac {f(z)}{z - z_0} dz= 2\pi if(z_0) . ∮Cz−z0f(z)dz=2πif(z0).
5. 高阶导数
设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析,而在D∪C上连续,则f(z)的各阶导函数均在D内解析,对D内任一点z,有
∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ = 2 π i n ! f ( n ) ( z ) . \oint_{C} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z) . ∮C(ζ−z)n+1f(ζ)dζ=n!2πif(n)(z).
6. 留数定理🌻🌻🌻
∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n R e s [ f ( z ) , z k ] . \oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res[~f(z),z_k~]. ∮Cf(z)dz=2πik=1∑nRes[ f(z),zk ].
语 言 描 述 : 2 π i 乘 以 积 分 曲 线 所 包 围 孤 立 奇 点 的 留 数 之 和 。 语言描述:2\pi i ~乘以~积分曲线所包围孤立奇点的留数之和。 语言描述:2πi 乘以 积分曲线所包围孤立奇点的留数之和。
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