复积分的计算

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复积分的计算

目录

• 1. 二元实函数的线积分
• 2. 原函数
• 3. 柯西积分定理
• 4. 柯西积分公式
• 5. 高阶导数
• 6. 留数定理🌻🌻🌻

1. 二元实函数的线积分

（1）一般方程
∫ c f ( z ) d z = ∫ c u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y + i ∫ c v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y . \int_c f(z)dz\, = \int_c u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_c v(x,y)dx+u(x,y)dy . ∫c​f(z)dz=∫c​u(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫c​v(x,y)dx+u(x,y)dy.
利用一次定理后，直接变为第二类曲线积分的计算，复平面变为曲线所在平面。
（2）参数方程
∫ C f ( z ) d z = ∫ a b f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t . \int_Cf(z)dz =\int_{a}^{b}f(~z(t)~)z'(t)dt . ∫C​f(z)dz=∫ab​f( z(t) )z′(t)dt.
难点在于表达出单变量的参数方程

2. 原函数

∫ a b f ( z ) d z = G ( b ) − G ( a ) \int_a^b f(z)dz\, = G(b) - G(a) ∫ab​f(z)dz=G(b)−G(a)
常见使用情况：
有积分的上下限（起始点和终止点）

3. 柯西积分定理

（1）封闭曲线积分为0

（2）改变积分路径
在解析区域的积分与路径无关。

（3）转换到内圆的积分

∮ C d z ( z − z 0 ) n ， C 为 以 z 0 为 圆 心 ， 任 意 半 径 的 圆 。 \oint_{C} \tfrac{dz}{(z-z_0) ^n}，C为以z0为圆心，任意半径的圆。 ∮C​(z−z0​)ndz​，C为以z0为圆心，任意半径的圆。

• 当n=1时，积分值为 2 π i 2\pi i 2πi
• 当n≠1时，积分值为 0

语言描述：以奇点为圆心的圆，积分值与半径无关。

4. 柯西积分公式

设f(z)在简单闭曲线C所围成的 区域 D 内解析，在 D∪C内连续，z₀是D内任一点，则
∮ C f ( z ) z − z 0 d z = 2 π i f ( z 0 ) . \oint_{C} \frac {f(z)}{z - z_0} dz= 2\pi if(z_0) . ∮C​z−z0​f(z)​dz=2πif(z0​).

5. 高阶导数

设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，而在D∪C上连续，则f(z)的各阶导函数均在D内解析，对D内任一点z，有

∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ = 2 π i n ! f ( n ) ( z ) . \oint_{C} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z) . ∮C​(ζ−z)n+1f(ζ)​dζ=n!2πi​f(n)(z).

6. 留数定理🌻🌻🌻

∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n R e s [ f ( z ) , z k ] . \oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res[~f(z),z_k~]. ∮C​f(z)dz=2πik=1∑n​Res[ f(z),zk​ ].
语 言 描 述 ： 2 π i 乘 以 积 分 曲 线 所 包 围 孤 立 奇 点 的 留 数 之 和 。 语言描述：2\pi i ~乘以~积分曲线所包围孤立奇点的留数之和。 语言描述：2πi 乘以 积分曲线所包围孤立奇点的留数之和。