数学笔记——直角坐标方程转参数方程

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数学笔记——直角坐标方程转参数方程

目录

• • 背景
  • 第一步，原式转换成参数方程
  • 第二步，将参数方程绕x轴旋转一周
  • 结果程序与图形
  • 注

背景

学习matlab三维作图时遇到的一道题，搞不懂为什么要将直角方程转换成参数方程，在经过多次直角作图失败后，还是决定老老实实学下怎么将直角方程转参数方程，然后使用参数方程进行三维作图。

原式： x 2 + ( y − 5 ) 2 = 16 x^2 + (y-5)^2 = 16 x2+(y−5)2=16

需求：将求得原式绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面方程。

思路：将原式转换成参数方程，再进行旋转操作。

第一步，原式转换成参数方程

给定圆的方程 x 2 + ( y − 5 ) 2 = 16 x^2 + (y - 5)^2 = 16 x2+(y−5)2=16，我们可以将其转化为极坐标形式：
x = r c o s θ x = rcosθ x=rcosθ
y − 5 = r s i n θ y - 5 = rsinθ y−5=rsinθ
其中， r r r为极径， θ θ θ为极角。

将 y − 5 = r s i n θ y - 5 = rsinθ y−5=rsinθ代入 x 2 + ( y − 5 ) 2 = 16 x^2 + (y - 5)^2 = 16 x2+(y−5)2=16中，得到：
x 2 + ( r s i n θ ) 2 = 16 x^2 + (rsinθ)^2 = 16 x2+(rsinθ)2=16

化简后得到：
x 2 + r 2 s i n 2 θ = 16 x^2 + r^2sin^2θ = 16 x2+r2sin2θ=16

再将 x = r c o s θ x = rcosθ x=rcosθ代入，得到：
( r c o s θ ) 2 + r 2 s i n 2 θ = 16 (rcosθ)^2 + r^2sin^2θ = 16 (rcosθ)2+r2sin2θ=16

化简后得到：
r 2 ( c o s 2 θ + s i n 2 θ ) = 16 r^2(cos^2θ + sin^2θ) = 16 r2(cos2θ+sin2θ)=16

由于 c o s 2 θ + s i n 2 θ = 1 cos^2θ + sin^2θ = 1 cos2θ+sin2θ=1，
所以： r 2 = 16 r^2 = 16 r2=16
解得 r = 4 r = 4 r=4。
因此，圆的极径 r r r为4。

将 r = 4 r = 4 r=4代入 x = r c o s θ x = rcosθ x=rcosθ和 y − 5 = r s i n θ y - 5 = rsinθ y−5=rsinθ中，得到圆的参数方程：
x = 4 c o s θ x = 4cosθ x=4cosθ
y = 5 + 4 s i n θ y = 5 + 4sinθ y=5+4sinθ
z = 0 z = 0 z=0

这样，我们就得到了圆的参数方程。通过调整 θ θ θ的取值，可以得到圆上的不同点的坐标。

第二步，将参数方程绕x轴旋转一周

如果将该圆曲面绕x轴旋转一周，可以得到一个旋转体，即一个圆柱体。
对于圆的参数方程 x = 4 c o s θ ， y = 5 + 4 s i n θ ， z = 0 x = 4cosθ，y = 5 + 4sinθ，z = 0 x=4cosθ，y=5+4sinθ，z=0，我们将z坐标保持不变，即 z = 0 z = 0 z=0。然后，将 x x x和 y y y坐标分别替换为 x ′ x' x′和 y ′ y' y′，表示旋转后的坐标。
对于旋转体的参数方程，我们可以使用极坐标的旋转公式来推导。
x ′ = x x' = x x′=x
y ′ = y c o s φ − z s i n φ y' = ycosφ - zsinφ y′=ycosφ−zsinφ
z ′ = y s i n φ + z c o s φ z' = ysinφ + zcosφ z′=ysinφ+zcosφ
其中， φ φ φ为旋转角度。

对于绕x轴旋转一周，我们可以令 φ = θ φ = θ φ=θ，即旋转角度等于极角。
将 x = 4 c o s θ ， y = 5 + 4 s i n θ ， z = 0 x = 4cosθ，y = 5 + 4sinθ，z = 0 x=4cosθ，y=5+4sinθ，z=0代入旋转公式，得到：
x ′ = 4 c o s θ x' = 4cosθ x′=4cosθ
y ′ = ( 5 + 4 s i n θ ) c o s θ y' = (5 + 4sinθ)cosθ y′=(5+4sinθ)cosθ
z ′ = ( 5 + 4 s i n θ ) s i n θ z' = (5 + 4sinθ)sinθ z′=(5+4sinθ)sinθ

这样，我们就得到了旋转体（圆柱体）的参数方程：
x ′ = 4 c o s θ x' = 4cosθ x′=4cosθ
y ′ = ( 5 + 4 s i n θ ) c o s θ y' = (5 + 4sinθ)cosθ y′=(5+4sinθ)cosθ
z ′ = ( 5 + 4 s i n θ ) s i n θ z' = (5 + 4sinθ)sinθ z′=(5+4sinθ)sinθ

这个参数方程描述了绕x轴旋转一周后的曲面的形状。

结果程序与图形

alpha = [0:0.1:2*pi]‘;beta = 0:0.1:2*pi;
x = 4*cos(alpha)*ones(size(beta));
y = (5 + 4*sin(alpha))*cos(beta);
z = (5 + 4*sin(alpha)) * sin(beta);
surf(x,y,z)

注

计算内容主要还是套各种公式，以前的知识点还是需要补一下的。

以上过程均来自AI，此内容仅作本人学习记录使用。