2023牛客OI赛前集训营

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题目大意

有一个长度为 n n n的序列 a i a_i ai​，现在你可以取序列 a i a_i ai​的前若干个元素，并将这些元素分成 k k k个连续的区间。一种方案分法的分数为这些区间的区间和中的最大值，求分数的最小值。

有 T T T组数据。

1 ≤ T ≤ 3 , 1 ≤ n ≤ 1 0 5 , 1 ≤ k ≤ n , − 1 0 9 ≤ a i ≤ 1 0 9 1\leq T\leq 3,1\leq n\leq 10^5,1\leq k\leq n,-10^9\leq a_i\leq 10^9 1≤T≤3,1≤n≤105,1≤k≤n,−109≤ai​≤109

题解

我们可以二分答案，设当前二分到的值为 m i d mid mid。

设 f i f_i fi​表示前 i i i个数字中最多可以分成多少段，使得每一段的和都大于等于 m i d mid mid。如果存在 f i > k f_i>k fi​>k，则 m i d mid mid是可行的；否则， m i d mid mid不可行。

f i f_i fi​的转移式如下：

f i = max ⁡ { f j } + 1 f_i=\max\{f_j\}+1 fi​=max{fj​}+1，其中 j < i j<i j<i且 s i − s j ≥ m i d s_i-s_j\geq mid si​−sj​≥mid，数组 s s s为数组 a a a的前缀和数组。

这样做的时间复杂度为 O ( n 2 log ⁡ v ) O(n^2\log v) O(n2logv)，其中 v v v为值域。我们考虑优化。

我们发现， j j j需要满足的条件为 j < i j<i j<i且 s j ≤ s i − m i d s_j\leq s_i-mid sj​≤si​−mid。那么，我们将所有 s i s_i si​和 s i − m i d s_i-mid si​−mid排序并离散化一下，用树状数组来维护所有满足条件的 j j j中的最小的 f j f_j fj​，查询时用 s i − m i d s_i-mid si​−mid离散化后的位置来求前缀最小值。这样的话，修改和查询都是 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)的。

时间复杂度为 O ( T n log ⁡ n log ⁡ v ) O(Tn\log n\log v) O(Tnlognlogv)。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,K,tr[200005],f[100005];
long long ans,a[100005],sum[100005];
vector<long long>v;
int lb(int i){return i&(-i);
}
void pt(int i,int w){while(i<=v.size()){tr[i]=max(tr[i],w);i+=lb(i);}
}
int find(int i){int re=-1e9;while(i){re=max(re,tr[i]);i-=lb(i);}return re;
}
int gtid(long long w){int t=lower_bound(v.begin(),v.end(),w)-v.begin();return v.size()-t;
}
bool pd(long long mid){v.clear();for(int i=1;i<=n;i++){v.push_back(sum[i]);v.push_back(sum[i]-mid);}v.push_back(0);sort(v.begin(),v.end());v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());for(int i=1;i<=v.size();i++) tr[i]=-1e9;f[0]=0;pt(gtid(0),f[0]);for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=find(gtid(sum[i]-mid))+1;pt(gtid(sum[i]),f[i]);if(f[i]>=K) return 1;}return 0;
}
int main()
{scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&K);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];}long long l=-1e15,r=1e15,mid;while(l<=r){mid=l+r>>1;if(pd(mid)) r=mid-1;else l=mid+1;}printf("%lld\n",r+1);}return 0;
}