计算机算法分析与设计（15）

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计算机算法分析与设计（15）

文章目录

• 一、虚拟汽车加油问题
• • 1.1 问题描述
  • 1.2 思路分析
  • 1.3 代码编写
• 二、最优分解问题
• • 2.1 问题描述
  • 2.2 思路分析
  • 2.3 代码编写

一、虚拟汽车加油问题

1.1 问题描述

 一辆虚拟汽车加满油后可行驶 n n n km。旅途中有若干加油站。设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使沿途加油次数最少，计算最少加油次数。

数据输入：
第一行有两个整数n和k，表示汽车加满油后可行驶n km,且路途中有k个加油站。接下来的一行中有k+1个整数，表示第k个加油站与k-1个加油站之间的距离。第0个加油站表示处出发地，汽车已加满油，第k+1个加油站便是目的地。
数据输出：
将计算的最少加油次数输出，如果无法到达目的地，则输出 “No Solution”。

1.2 思路分析

 贪心策略：只要汽车能赶到下一个加油站，就不用加油；否则在当前加油站加满油再出发。

1.3 代码编写

样例输入：
7 7
1 2 3 4 5 1 6 6
样例输出：
4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main(){int n,k;cin>>n>>k;int a[k+1];for(int i=0; i<k+1; i++){cin>>a[i];}bool f=0;int sum=0,gas=n; //gas表示当前的油还可以走多少kmfor(int i=0; i<k+1; i++){if(n<a[i])//出现两个加油站之间距离大于n则肯定到达不了目的地 {f=1;}if(gas<a[i])//当前的油不够行驶 {sum++; gas=n;}gas=gas-a[i];}if(f){cout<<"No Solution\n";}else{cout<<"最少加油次数："<<sum<<endl;}return 0;
}

二、最优分解问题

2.1 问题描述

 设 n n n 是一个正整数。现在要求将 n n n 分解为若干互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。

数据输入：
输入一个正整数n。
数据输出：
输出计算得出的最大乘积。

2.2 思路分析

 1. 整数的一个性质：若 a + b = N ( 常数 ) a + b =N(常数) a+b=N(常数)，则 ∣ a − b ∣ | a - b | ∣a−b∣ 越小， a ∗ b a * b a∗b 越大。

 2. 分析： n n n 为整数相加之和，常数不变。 （ a + b ) 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b = n 2 — > a b = ( n 2 − ( a − b ) 2 ) / 4 （a+b)^2 = (a-b)^2 +4ab =n^2 —> ab=(n^2 -(a-b)^2)/4 （a+b)2=(a−b)2+4ab=n2—>ab=(n2−(a−b)2)/4；所以若 a + b = 常数 a+b=常数 a+b=常数，则 a − b a-b a−b 的绝对值越小， a b ab ab 值越大。

 3. 思路：因为要使乘积最大，所以要尽量分解为相似大小的数。分解时，因数从 2 2 2 开始，每次加 1 1 1， n = n − a [ i ] n=n-a[i] n=n−a[i]，保证剩下的数比下一次的数大。
 所以最优分解为从 2 2 2 开始连续的自然数最好，最终分解剩余了一个余数，从分解的最后项依次加 1 1 1 即可（这样乘积中大的数会更大，总的乘积会更大）。

 4. 例如：分解 13 13 13 分解为 2 、 3 、 4 2、3、4 2、3、4，还剩下 4 4 4，不够继续分解的下一个数 5 5 5，就把 4 4 4 依次分配给前面的因子，分配顺序是 4 = > 3 = > 2 4 => 3 => 2 4=>3=>2。所以最终结果为 3 、 4 、 6 3、4、6 3、4、6，这就是最大乘积的因子。（分配顺序为从大到小，如果还剩下，就继续分配，直到分完变为 0 0 0 为止）。

2.3 代码编写

样例输入：
10
样例输出：
30

#include<iostream>
using namespace std;int main()
{int a[100];int n,i=1,j;int sum=1;     cin>>n;a[0]=2;n=n-a[0];while(n>a[i-1]) //a[i-1]=2{a[i]=a[i-1]+1; //第二个因子是3，往后依次...... n=n-a[i];i++;}while(n>0) //余数依次减1，加在已分配好的因子上{for(j=0;j<i;j++){a[i-j-1]++; //从最大的数开始加1n--;        //余数减1 if(n==0)    //若n不等于0，继续执行下一轮分配 {break;}  }}j=0;while(j<i) //求最终的乘积{sum=sum*a[j];j++;}cout<<sum;return 0;
}