Leetcode—动态规划（背包问题）

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Leetcode—动态规划（背包问题）

1、背包基础问题：01背包

输入：背包最大重量为 4。物品重量数组weight[1,3,4]，对应的价值数组value[15,20,30]。

五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，dp采用二维数组，即dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

 2、确定递推公式

当从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，有两种情况：

不放物品i：当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同；此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]

放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出（dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值），则放入物品i后，背包的最大价值为：dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]。

结合上述两种情况，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

3、dp数组的初始化

如果背包容量j=0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0；

i是由i-1推导出来的，则i=0时也要初始化，很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。综上dp数组如下

 初始化代码如下：

//初始化dp数组,weight为物品重量数组，n为背包容量
vector<vector<int>> dp(weight.size(),vector<int>(n+1,0));
for(int j = weight[0];j<n;j++)dp[j] = value[0];

4、确定遍历顺序

由dp数组可以观察到我们有两个遍历的维度：物品与背包重量，先遍历物品比较好理解

整体代码如下：

void Bag_Problem(){vector<int> weight = {1,3,4};vector<int> value = {15,20,30};int n = 4;//定义dp数组vector<vector<int>> dp(weight.size(),vector<int>(n+1,0));//初始化dp数组for(int j = weight[0];j<=n;j++){dp[0][j] = value[0];}//开始遍历，先遍历物品，再遍历背包for(int i = 1;i<weight.size();i++){for(j = 0;j<=n;j++){if(j<weight[0]) dp[i][j] = dp[i-1][j];else dp[i][j] =  max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);}}cout<<dp[weight.size()-1][n]<<endl;
}

优化：使用一维dp（滚动数组）

根据递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

优化后的代码：

void test_1_wei_bag_problem() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;// 初始化vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}

这里发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

为什么呢？倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15。如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

2、分割等和子集

 如何对应到01背包问题上：

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义：本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。
2. 确定递推公式：01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3. dp数组如何初始化：如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
4. 确定遍历顺序：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {//01背包变形问题//分析：等分为两个子集，且不可重复放同一元素，那么找到一个子集即可，剩下的自然为第二个子集元素//背包的容量即为sum/2,物品的价值和重量都是nums[i]//定义dp数组，并初始化为0vector<int> dp(10001,0);//根据变量范围设置的//先求和int sum = accumulate(nums.begin(),nums.end(),0);if(sum%2==1) return false;//输入数据本身就不可以等分为两个子集int target = sum/2;for(int i = 0;i<nums.size();i++){for(int j = target;j>=nums[i];j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}if(dp[target] == target)return true;elsereturn false;}
};

3、最后一块石头的重量

        类似于划分相等子集，尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，化解成01背包问题了。

五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义：本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”。
2. 确定递推公式：01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
3. dp数组如何初始化：如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
4. 确定遍历顺序：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {//类似于划分相等子集//尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，化解成01背包问题了//定义dp数组并初始化，因为石头的重量都是正数，所以初始化为0vector<int> dp(15001,0);//求石头的总重int sum = accumulate(stones.begin(),stones.end(),0);int target = sum / 2;//开始遍历for(int i = 0;i<stones.size();i++){for(int j = target;j>=stones[i];j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);}}//背包中尽可能装最大重量，这样相撞之后，剩余的重量就越小//sum-dp[target]是另一个子集的石头总重，得到的结果肯定大于等于target//再减去dp[target]相当于相撞之后剩余的重量return (sum-dp[target])-dp[target];}
};

分割等和子集相当于是求背包是否正好装满；

最后一块石头的重量是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小。