AM@导数的应用@二阶导数的应用@函数的性态研究@函数图形的绘制

编程入门行业动态更新时间:2024-10-28 08:22:57

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AM@导数的应用@二阶导数的应用@函数的性态研究@函数图形的绘制

文章目录

- 概念
- - 称呼说明
  - 驻点
  - 极值和极值点
  - 最值
  - 极值点和最值比较
  - 曲线的凹凸性
  - 凹凸性判定定理👺
  - - 例
    - 证明
  - 凹凸性和单调性无必然关系
  - 拐点
  - 寻找拐点👺
- 函数图形的绘制
- - 例

概念

本文讨论导数的应用:利用导数研究函数的性态
相关定理主要通过Lagrange中值定理进行推导,也是Lagrange中值定理的应用
- 一次求导就对应一次Lagrange中值定理的应用
函数图形的绘制

称呼说明

本文中的点指的不是直角坐标系中的二维点,而是数轴( x x x轴, y y y轴上的点,例如 x = x 0 x=x_0 x=x0, y = f ( x 0 ) y=f(x_0) y=f(x0))

驻点

连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的导数 f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f′(x)=0的解 x = a x=a x=a称为 f ( x ) f(x) f(x)的驻点(稳定点/临界点)
驻点和极值点:极值点不一定是驻点,驻点不一定是极值点
- 例如: y = ∣ x ∣ y=|x| y=∣x∣的极值点为 x = 0 x=0 x=0,但此处不可导,因此不是驻点
- 例如: y = x 3 y=x^3 y=x3的驻点为 x = 0 x=0 x=0,但此处不是极值点

极值和极值点

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内有定义,当 x ∈ U ( x 0 ) x\in{U(x_0)} x∈U(x0)时有 f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) f(x)\geqslant{f(x_0)} f(x)⩾f(x0), ( f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ) (f(x)\leqslant{f(x_0)}) (f(x)⩽f(x0))则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)为 f ( x ) f(x) f(x)的一个极小值(极大值), x = x 0 x=x_0 x=x0称为函数的一个极小值点(极大值点)
极小值和极大值统称为极值;极小值点和极大值点统称为极值点
极值和极值点都不是坐标,而是坐标分量,极值点时自变量的某个取值,极值是极值点对应的函数值

最值

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上有定义,若 ∃ x 0 ∈ I \exist{x_0}\in{I} ∃x0∈I,使得 ∀ x ∈ I \forall{x}\in{I} ∀x∈I都有有 f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) f(x)\geqslant{f(x_0)} f(x)⩾f(x0), ( f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ) (f(x)\leqslant{f(x_0)}) (f(x)⩽f(x0))则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)为 f ( x ) f(x) f(x)的一个最值(最大值), x 0 x_0 x0称为最小值点(最大值点)
最小值和最大值统称为最值,最小值点和最大值点统称为最值点

极值点和最值比较

最值和极值都不是坐标,而是某个自变量取值下的函数值
有最值得函数不一定有极值;有极值也不一定有最值
联系:
- 若 f ( x ) f(x) f(x)有最值,且最值点不再区间 I I I端点处(而在区间 I I I内部);则最值点是某个极值点

曲线的凹凸性

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上连续, ∀ x 1 , x 2 ∈ I \forall{x_1,x_2}\in{I} ∀x1,x2∈I,联结 A ( x 1 , f ( x 1 ) ) A(x_1,f(x_1)) A(x1,f(x1)), B ( x 2 , f ( x 2 ) ) B(x_2,f(x_2)) B(x2,f(x2))构成的弦 A B AB AB总是在弧AB的上方(下方),则称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上是凹(凸)的
- 在函数图形上,区间 I I I上是凹的,则其形状和凹字呈现的形状含义相同,
- 例如二次函数 y = x 2 y=x^2 y=x2是 R \mathbb{R} R上的凹函数;而 y = − x 2 y=-x^2 y=−x2是凸函数
形式化定义:
- 设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上连续,若对 I I I上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2,恒有 f ( x 1 + x 2 2 ) f(\frac{x_1+x_2}{2}) f(2x1+x2)< f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} 2f(x1)+f(x2),那么称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上的图形是向上凹的(或称为凹弧);若恒有 f ( x 1 + x 2 2 ) f(\frac{x_1+x_2}{2}) f(2x1+x2)> f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} 2f(x1)+f(x2),那么称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上的图形是向上凸的(或称为凸弧);
形式化定义是重要的,因为许多相关定理的证明借助形式化定义更方便和严谨

凹凸性判定定理👺

设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上来纳许,在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内具有一阶和二阶导数,则
1. 若 ( a , b ) (a,b) (a,b)内 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0,则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的图形是凹的
2. 若 ( a , b ) (a,b) (a,b)内 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f′′(x)<0,则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的图形是凸的
法则中的闭区间换成其他区间也成立
凹函数 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0表示函数最自变量变换函数的变化增快,例如 y = e x , y = − x 2 y=e^{x},y=-x^2 y=ex,y=−x2,反之则表示变化较慢,这就是函数的导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的导数 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)的几何含义

例

判断 y = ln ⁡ x y=\ln{x} y=lnx的凹凸性
- 因为 y ′ ′ = ( x − 1 ) ′ = − x − 2 y''=(x^{-1})'=-x^{-2} y′′=(x−1)′=−x−2,在 y = ln ⁡ x y=\ln{x} y=lnx定义域 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infin) (0,+∞)内, y ′ ′ < 0 y''<0 y′′<0,有凹凸性判定定理, y = ln ⁡ x y=\ln{x} y=lnx是凸的

证明

以情形1为例
- 设 x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] x_1,x_2\in[a,b] x1,x2∈[a,b], x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2,记 x 1 + x 2 2 = x 0 \frac{x_1+x_2}{2}=x_0 2x1+x2=x0,
- 记 x 2 − x 0 = x 0 − x 1 = h x_2-x_0=x_0-x_1=h x2−x0=x0−x1=h,(显然 h > 0 h>0 h>0);则 x 1 = x 0 − h x_1=x_0-h x1=x0−h, x 2 = x 0 + h x_2=x_0+h x2=x0+h,(0)分别在区间 [ x 1 , x 0 ] , [ x 0 , x 2 ] [x_1,x_0],[x_0,x_2] [x1,x0],[x0,x2]上Lagrange中值公式,得
  - f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) f(x_0+h)-f(x_0) f(x0+h)−f(x0)= f ′ ( ξ 1 ) h f'(\xi_1)h f′(ξ1)h, ξ 1 = x 0 + θ 1 h \xi_1=x_0+\theta_1h ξ1=x0+θ1h, θ 1 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_1\in(0,1) θ1∈(0,1)
  - f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) f(x_0)-f(x_0-h) f(x0)−f(x0−h)= f ′ ( ξ 2 ) h f'(\xi_2)h f′(ξ2)h, ξ 2 = x 0 − θ 2 h \xi_2=x_0-\theta_2h ξ2=x0−θ2h, θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_2\in(0,1) θ2∈(0,1)
- 两式相加减得 f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0) f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)= [ f ′ ( ξ 1 ) − f ′ ( ξ 2 ) ] h [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]h [f′(ξ1)−f′(ξ2)]h,(1)
- 对区间 [ ξ 2 , ξ 1 ] [\xi_2,\xi_1] [ξ2,ξ1]上在利用Lagrange中值公式,得 f ′ ( ξ 1 ) − f ′ ( ξ 2 ) f'(\xi_1)-f'(\xi_2) f′(ξ1)−f′(ξ2)= f ′ ′ ( ξ ) ( θ 1 + θ 2 ) h f''(\xi)(\theta_1+\theta_2)h f′′(ξ)(θ1+θ2)h,(2)
  - 两边同时乘以 h h h,得 [ f ′ ( ξ 1 ) − f ′ ( ξ 2 ) ] h [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]h [f′(ξ1)−f′(ξ2)]h= f ′ ′ ( ξ ) ( θ 1 + θ 2 ) h 2 f''(\xi)(\theta_1+\theta_2)h^2 f′′(ξ)(θ1+θ2)h2(3), ( ξ ∈ ( ξ 2 , ξ 1 ) ) (\xi\in(\xi_2,\xi_1)) (ξ∈(ξ2,ξ1))
  - 比较(1)式,可知 f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0) f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)= f ′ ′ ( ξ ) ( θ 1 + θ 2 ) h 2 f''(\xi)(\theta_1+\theta_2)h^2 f′′(ξ)(θ1+θ2)h2
  - 由假设条件 f ′ ′ ( ξ ) > 0 f''(\xi)>0 f′′(ξ)>0,又 ξ 1 + ξ 2 ∈ ( 0 , 2 ) \xi_1+\xi_2\in(0,2) ξ1+ξ2∈(0,2), h > 0 h>0 h>0可知 f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) > 0 f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)>0 f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)>0
  - 即 f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) 2 > f ( x 0 ) \frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)}{2}>f(x_0) 2f(x0+h)+f(x0−h)>f(x0),代入式(0),得 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 > f ( x 1 + x 2 2 ) \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2}) 2f(x1)+f(x2)>f(2x1+x2)
类似可以证明情形2

凹凸性和单调性无必然关系

函数凹凸性和单调性没有必然关系,即一阶导数的符号和二阶导数的符号可能不同
例如
- y = − x 2 , x ∈ ( 0 , + ∞ ) y=-x^2,x\in{(0,+\infin)} y=−x2,x∈(0,+∞)(递减凸函数)
- y = x , x ∈ ( 0 , + ∞ ) y=\sqrt{x},x\in(0,+\infin) y=x ,x∈(0,+∞)(递增凸函数)
- y = e x y=e^{x} y=ex,(递增凹函数)
- y = 1 x y=\frac{1}{x} y=x1(递减凹函数)

拐点

连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)上的凹,凸弧的分界点称为该曲线的拐点
更严格的描述:一般地,设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在区间 I I I上连续, x 0 ∈ I x_0\in{I} x0∈I,若曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在经过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))时,曲线的凹凸性发生改变,则 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))称为曲线的拐点

寻找拐点👺

求 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)
令 f ′ ′ ( x ) = 0 f''(x)=0 f′′(x)=0,求解出该方程在区间 I I I内的实根,这些实根构成集合A
求解区间 I I I内 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)不存在的点(假设这样的点是有限个的),这些点构成集合 B B B
令 S = A ∪ B S=A\cup{B} S=A∪B,则对每个 S S S中的元素 x i x_i xi,检查 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)在 x i x_i xi两侧邻近的符号,若异号,则 P ( x 0 , f ( x 0 ) ) P(x_0,f(x_0)) P(x0,f(x0))是拐点,若同号,则 P P P不是拐点

函数图形的绘制

借助微分学的方法比较准确的绘制函数图形
- 借助一阶导数可以确定函数在定义域内的单调性,某点处的一阶导数的绝对值 ∣ f ′ ( x 0 ) ∣ |f'(x_0)| ∣f′(x0)∣越大,说明该处变化率越大, x 0 x_0 x0附近越陡峭
- 进一步地,借助二阶导数,可以确定函数在定义域内凹凸性
仅知道区间内的单调性难以体现一些细节,若知道凹凸性,可以得出曲线的陡峭程度的变化趋势(二阶导数刻画的是一阶导数,若一阶,二阶导数都大于0,说明一阶导数递增,随着 x x x增大,图形曲线会越来越陡峭;
- 对于给定的一个函数图形,我们也可以一般的分析其二阶导数在某个区间内的正负,从指定区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]的左端点开始在 x → b x\to{b} x→b的过程中,若切线斜率越来越大,则二阶导是大于0的;反之,则二阶导小于0
- 二阶导数与物体运动
  - 例如 v = s t ′ v=s_{t}^{'} v=st′, a = v t ′ a=v_{t}' a=vt′= s t ′ ′ s_{t}'' st′′即位移对时间求导得到某个时刻的速度(大小和方向),速度对时间求导,得到某个时间的加速度
函数图形分析和绘制步骤
- 确定函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域 D f D_f Df
  - 对于多项式函数,可尝试因式分解确定零点
- 分析函数是否有奇偶性和周期性
  - 周期性一般对三角函数比较重要
- 求函数 f ( x ) f(x) f(x)的一阶,二阶导数 f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) f'(x),f''(x) f′(x),f′′(x)
- 求出 f ′ ( x ) f'(x) f′(x), f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)在 D f D_f Df内的全部零点和不存在的点(无定义点),它们构成集合S
  - f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的零点和不存在点包含所有潜在的极值点(相邻区间内单调性可能相同)
  - f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)的零点和不存在点包含所有来找出潜在的拐点
  - Note:
    - 对于多项式函数而言,不存在不可导点,只需要关心零点即可
- 根据集合S中的 N = ∣ S ∣ N=|S| N=∣S∣个点构成 N = ∣ S ∣ + 1 N=|S|+1 N=∣S∣+1个区间
- 分别确定 N N N个区间内 f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) f'(x),f''(x) f′(x),f′′(x)的符号,并由此确定函数图形的升降,凹凸和拐点
- 确定函数图形的水平,铅直渐近线等变换趋势
- 计算 S S S中的各个点的函数值,得到点 ( x i , f ( x i ) ) (x_i,f(x_i)) (xi,f(xi)), x i ∈ S , i = 1 , 2 , ⋯ , n x_i\in{S},i=1,2,\cdots,n xi∈S,i=1,2,⋯,n
- 用适当的曲线来连结这些图形在坐标上的点

例

y = x 3 − x 2 − x + 1 y=x^3-x^2-x+1 y=x3−x2−x+1的图形
- 函数定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (−∞,+∞)
- f ′ ( x ) = 3 x 2 − 2 x − 1 = ( 3 x + 1 ) ( x − 1 ) f'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1) f′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1);零点为 − 1 3 -\frac{1}{3} −31, 1 1 1
- f ′ ′ ( x ) = 6 x − 2 = 2 ( 3 x − 1 ) f''(x)=6x-2=2(3x-1) f′′(x)=6x−2=2(3x−1);零点为 1 3 \frac{1}{3} 31
将上述求得的零点划分区间: ( − ∞ , − 1 3 ) (-\infin,-\frac{1}{3}) (−∞,−31), [ − 1 3 , 1 3 ] [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}] [−31,31], [ 1 3 , 1 ] [\frac{1}{3},1] [31,1], [ 1 , + ∞ ) [1,+\infin) [1,+∞)

x x x	( − ∞ , − 1 3 ) (-\infin,-\frac{1}{3}) (−∞,−31)	− 1 3 -\frac{1}{3} −31	[ − 1 3 , 1 3 ] [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}] [−31,31]	1 3 \frac{1}{3} 31	[ 1 3 , 1 ] [\frac{1}{3},1] [31,1]	1 1 1	[ 1 , + ∞ ) [1,+\infin) [1,+∞)
f ′ ( x ) f'(x) f′(x)	+	0	-	-	-	0	+
f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)	-	-	-	0	+	+	+
y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的图形	增凸	局部最高点	减凸	拐点	减凹	局部最低点	增凹

分析各个区间内函数的 f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) f'(x),f''(x) f′(x),f′′(x)的符号

函数没有渐进线, y → + ∞ ( x → + ∞ ) y\to{+\infin}(x\to{+\infin}) y→+∞(x→+∞); y → − ∞ ( x → − ∞ ) y\to{-\infin}(x\to{-\infin}) y→−∞(x→−∞)
适当计算局部最高点和局部最低点以及坐标轴交点