线性代数相关笔记

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线性代数相关笔记

线性基

导入

线性基，顾名思义，就是一个包含数字最少的集合，使得原集合中的任何数都能用线性基中的元素表示。

集合中的元素满足一些性质：

• 原集合中的任意元素都可以用线性基中的若干元素的异或和表示
• 线性基中任意数异或和不为 0 0 0，否则不满足集合大小最小
• 以任意顺序枚举原集合中元素，所得集合大小相同
• 大小为 n n n 的线性基可以表示 2 n 2^n 2n 个数；若线性基中存在二进制第 i i i 位为 1 1 1 的数，则可以表示 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1 个二进制下第 i i i 位为 1 1 1 的数。

操作

插入

我们用数组 p 表示线性基，假设要插入 x x x，从高到低枚举 x x x 的二进制的每一位数字，如果 x x x 的第 i i i 位为 1 1 1 且 p i = 0 p_i=0 pi​=0，那么令 p i = x p_i=x pi​=x 并结束插入；否则，令 x^=p[i]，继续枚举下一位。

void insert(int x)
{for(int i=50;i>=0;--i)if(x>>i&1){if(!p[i]) {p[i]=x;break;}else x^=p[i];}
}

求异或最大值

求原集合的子集的异或最大值，利用贪心思想。若 ans^p[i]>ans，则 ans^=p[i]。

int pmax()
{int ans=0;for(int i=50;i>=0;--i)if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];return ans;
}

求异或最小值

分两种情况考虑：

• 线性基大小 < < < 原集合大小：原集合中一定存在异或和为 0 0 0 的一些数，所以异或最小值为 0 0 0。
• 线性基大小 = = = 原集合大小：在线性基内求异或最小值，线性基内的最小元素与其他元素异或得到的值一定更大，所以异或最小值为线性基中最小元素。

剩的异或 k k k 小值先咕了 QwQ 本来学线性基是想过 YbtOJ 的最大异或对的，结果发现线性基是任意数的最大异或和，这一道题是一对，只能用 trie 树

练手板子题

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long longint p[55];void insert(int x)
{for(int i=50;i>=0;--i)if(x>>i&1){if(!p[i]) {p[i]=x;break;}else x^=p[i];}
}int pmax()
{int ans=0;for(int i=50;i>=0;--i)if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];return ans;
}signed main()
{int n,x;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x,insert(x);cout<<pmax();return 0;
}

行列式

行列式，是一种对于矩阵的特殊形式——方阵的表示形式。所谓方阵，就是 n × n n\times n n×n的矩阵。

一个 n × n n\times n n×n 的方阵 A A A 的行列式记为 det ⁡ ( A ) \det(A) det(A) 或者 ∣ A ∣ |A| ∣A∣，一个 2 × 2 2\times2 2×2 矩阵的行列式可表示如下：
det ⁡ ( a b c d ) = a d − b c \det \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}=ad-bc det(ac​bd​)=ad−bc
把一个 n n n 阶行列式中的元素 a i j a_{ij} aij​ 所在的第 i i i行和第 j j j列划去后，留下来的 n − 1 n-1 n−1 阶行列式叫做元素 a i j a_{ij} aij​ 的余子式，记作 M i j M_{ij} Mij​。记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij​=(−1)i+jMij​，叫做元素 a i j a_{ij} aij​ 的代数余子式。

一个 n × n n\times n n×n 矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：
det ⁡ ( A ) = a i 1 A i 1 + ⋯ + a i n + A i n = ∑ j = 1 n a i j ( − 1 ) i + j det ⁡ ( A i j ) \det(A)=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}+A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det(A_{ij}) det(A)=ai1​Ai1​+⋯+ain​+Ain​=j=1∑n​aij​(−1)i+jdet(Aij​)
代码实现：

int dett(int a[maxn][maxn],int n)//n为阶数
{int dett=0,k=0,h=0;if(n==1) return a[0][0];else if(n==2) return a[0][0]*a[1][1]-a[0][1]*a[1][0];else{for(int p=0;p<n;p++){for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++){if(j==p) continue;tmp[h][k]=a[i][j],k++;if(k==n-1) h++,k=0;}dett=dett+a[0][p]*pow(-1,p)*det(tmp,n-1)}return dett;}
}

高斯消元

前置芝士

三角矩阵

上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为 0 0 0，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为 0 0 0。三角矩阵可以看作是一般方阵的一种简化情形。由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解。

举个栗子，下面的矩阵 U U U 就是一个上三角矩阵。
U = [ u 1 , 1 u 1 , 2 u 1 , 3 ⋯ u 1 , n 0 u 2 , 2 u 2 , 3 ⋯ u 2 , n 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ u n − 1 , n 0 0 ⋯ 0 u n , n ] U= \begin{bmatrix} u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\cdots&u_{1,n}\\ 0&u_{2,2}&u_{2,3}&\cdots&u_{2,n}\\ 0&0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&0&\ddots&u_{n-1,n}\\ 0&0&\cdots&0&u_{n,n} \end{bmatrix} U= ​u1,1​00⋮0​u1,2​u2,2​0⋮0​u1,3​u2,3​⋱0⋯​⋯⋯⋱⋱0​u1,n​u2,n​⋮un−1,n​un,n​​ ​

增广矩阵

又称扩增矩阵，就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

高斯消元

基本思想

通过一系列的加减消元运算，将方程组化为上三角矩阵。然后再逐一回代求出 x x x。

实现过程

解方程：
{ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 6 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 4 4 x 1 − 2 x 2 − 2 x 3 = 2 \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=6\\ 2x_1+2x_2+2x_3=4\\ 4x_1-2x_2-2x_3=2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​3x1​+2x2​+x3​=62x1​+2x2​+2x3​=44x1​−2x2​−2x3​=2​
我们把这个方程组写成增广矩阵的形式：