数字信号处理期末复习（2）——z变换与DTFT

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数字信号处理期末复习（2）——z变换与DTFT

前言

本章主要学习的内容为z变换、离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散时间系统的z变换域和频域（傅里叶变换域）的分析。

• 在z变换中，主要考查z变换和z反变换的计算、z变换的性质

• 在DTFT中，主要考查序列傅里叶变换的定义、主要性质和对称性质以及求解。

• 在z变换域和频域分析中，学习的是离散线性移不变系统的频域表征，学习了LSI系统的描述、因果稳定条件以及频率响应的特点。

一、z变换与z反变换

1.1  z变换

可以类比于幂级数，需要掌握的知识有：无穷等比级数求和、收敛域。

• 有限长序列——收敛域至少是除z=0及z=∞的开域（0，∞）

• 右边序列——收敛域是以R为半径的圆的外部

• 左边序列——收敛域是以R为半径的圆的内部

• 双边序列——环状区域

z变换常用公式如下（需要记忆）：

1.2  z反变换

z变换是已知幂级数的常数项，求幂级数的和

z反变换是已知幂级数的和，反求幂级数的常数项

联系复变函数的知识，需要掌握留数法、部分分式法和长除法

【留数法】

【部分分式法】

将X(z)展开成1/z的有理分式，再根据留数定理或公式求解。

【长除法】

按照幂级数展开的定义进行分析，解题步骤如下：

【典例】

1.3  z变换的性质

基于z变化的性质，还会考察利用z变化求解差分方程、z变换的抽象问题等。

二、DTFT

离散时间傅里叶变换，即序列的傅里叶变换。

2.1  序列傅里叶变换的定义

序列绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件。（一致收敛）

序列能量有限（平方可和）也是其傅里叶变换存在的充分条件。（均方收敛）

2.2  DTFT的主要性质

在巩固了上面的内容之后，还需要掌握下面这个表格列出的性质：

2.3  DTFT的对称性质

2.4  周期序列的傅里叶变换

三、LSI系统的频域表征

3.1  LSI系统的描述

掌握时域中的描述和在变换域中的描述。

• 时域中的两种描述：用单位抽样响应来表征；用常系数线性差分方程来表征输入输出关系

• 变换域中的两种描述：用系统函数来表征；用频率响应来表征

3.2  因果稳定条件

• 时域条件

• z域条件

将因果性和稳定性结合起来说明：

【例题】

3.3  频率响应的特点

详细内容请见PPT和参考书

主要考查内容有系统频率响应的意义和频率响应的几何确定法（重在理解）

最后需要大家去简单了解了一下，我们后续将要学习到的IIR系统和FIR系统的特点

【说明】本文内容主要参考自程佩清版本的《数字信号处理（第四版）》一书。