AM@三角幂之积函数的积分

函数的积分"/>

AM@三角幂之积函数的积分

abstract

• 利用第一换元法和三角恒等变换变形,对三角函数幂之积函数进行积分

简单三角@倒数三角函数积分

• ∫ tan ⁡ x d x \int{\tan{x}}\mathrm{d}x ∫tanxdx= ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x \int{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}\mathrm{d}x ∫cosxsinx​dx= ∫ − d cos ⁡ x cos ⁡ x \int\frac{-\mathrm{d}\cos{x}}{\cos{x}} ∫cosx−dcosx​= − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C -\ln|\cos{x}|+C −ln∣cosx∣+C
• ∫ csc ⁡ x d x \int{\csc{x}\mathrm{d}x} ∫cscxdx= ∫ 1 sin ⁡ x d x \int\frac{1}{\sin{x}}\mathrm{d}x ∫sinx1​dx= ∫ 1 2 sin ⁡ 1 2 x cos ⁡ 1 2 x d x \int{\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}x\cos{\frac{1}{2}x}}}\mathrm{d}x ∫2sin21​xcos21​x1​dx
  • = ∫ 1 sin ⁡ 1 2 x cos ⁡ 1 2 x d ( 1 2 x ) \int{\frac{1}{\sin\frac{1}{2}x\cos\frac{1}{2}x}}\mathrm{d}(\frac{1}{2}x) ∫sin21​xcos21​x1​d(21​x) 凑微分
  • = ∫ 1 tan ⁡ 1 2 x cos ⁡ 2 1 2 x d ( 1 2 x ) \int{\frac{1}{\tan\frac{1}{2}x\cos^2\frac{1}{2}x}}\mathrm{d}(\frac{1}{2}x) ∫tan21​xcos221​x1​d(21​x) ¹
  • = ∫ 1 tan ⁡ 1 2 x sec ⁡ 2 ( 1 2 x ) d ( 1 2 x ) \int{\frac{1}{\tan\frac{1}{2}x}}\sec^2({\frac{1}{2}x})\mathrm{d}{(\frac{1}{2}x)} ∫tan21​x1​sec2(21​x)d(21​x) ²
  • = ∫ 1 tan ⁡ 1 2 x d tan ⁡ 1 2 x \int{\frac{1}{\tan{\frac{1}{2}x}}}\mathrm{d}\tan{\frac{1}{2}x} ∫tan21​x1​dtan21​x= ln ⁡ ∣ tan ⁡ 1 2 x ∣ + C \ln|\tan{\frac{1}{2}x}|+C ln∣tan21​x∣+C 半角表示法
  • = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C \ln|\csc{x}-\cot{x}|+C ln∣cscx−cotx∣+C ³单倍角表示法
• f sec ⁡ x d x f\sec{x}\mathrm{d}x fsecxdx= ∫ csc ⁡ ( x + π 2 ) d ( x + π 2 ) \int{\csc{(x+\frac{\pi}{2})}}\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2}) ∫csc(x+2π​)d(x+2π​) ⁴
  • = ln ⁡ ∣ csc ⁡ ( x + π 2 ) − cot ⁡ ( x + π 2 ) ∣ + C \ln|\csc{(x+\frac{\pi}{2})}-\cot{(x+\frac{\pi}{2})}|+C ln∣csc(x+2π​)−cot(x+2π​)∣+C
  • = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C \ln|\sec{x}+\tan{x}|+C ln∣secx+tanx∣+C ⁵

n次幂型的积分

• 三角函数n次幂的积分类型函数,形如 t n ( x ) d x t^{n}(x)\mathrm{d}x tn(x)dx或 t n ( k x ) d x t^{n}(kx)\mathrm{d}x tn(kx)dx(0)
  1. 不同于 t n ( x ) d ( t ( x ) ) t^{n}(x)\mathrm{d}(t(x)) tn(x)d(t(x)),这类积分本质是 u n d u u^{n}\mathrm{d}{u} undu,即 ∫ t n ( x ) d ( t ( x ) ) \int{t^{n}(x)}\mathrm{d}(t(x)) ∫tn(x)d(t(x))= 1 n + 1 t n + 1 ( x ) + C \frac{1}{n+1}t^{n+1}(x)+C n+11​tn+1(x)+C
  2. 当 t ′ ( x ) t'(x) t′(x)不是常数时,情况比较复杂,需要通过变形等手段化为上一种换元幂函数积分简单情形

三角函数幂之积的积分

• 这里主要指 ∫ sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x \int{\sin^{m}{x}\cos^n{x}}\mathrm{d}x ∫sinmxcosnxdx型, ∫ tan ⁡ m x sec ⁡ n x d x \int{\tan^{m}{x}\sec^n{x}}\mathrm{d}x ∫tanmxsecnxdx的部分类型( m m m为偶数且n为奇数以外的情况)
• 总体思路是将高次三角函数幂转换为低次 k k k倍角的幂之和,最终用逐项积分的方式求积分
• 基本分类:
  • m , n m,n m,n中至少有一个奇数
  • m , n m,n m,n全为偶数(包括0)

三角 n n n次幂型积分

• 对于 t ( x ) t(x) t(x)是三角函数时,例如 t ( x ) = sin ⁡ n x t(x)=\sin^{n}x t(x)=sinnx或 cos ⁡ n x \cos^{n}x cosnx,相当于上述幂之积型函数的 m , n m,n m,n中的一个取0
• 即,此类问题是幂之积类型的一个特例,方法和幂之积型是一样的

类型1

• 一般地,对于 sin ⁡ 2 k + 1 x cos ⁡ n x \sin^{2k+1}x\cos^{n}x sin2k+1xcosnx或 sin ⁡ n x cos ⁡ 2 k + 1 x \sin^{n}x\cos^{2k+1}x sinnxcos2k+1x, ( k ∈ N ) (k\in\mathbb{N}) (k∈N)型函数的积分,可分别用变换: u = cos ⁡ x u=\cos{x} u=cosx或 u = sin ⁡ x u=\sin{x} u=sinx
• 这种类型相对简单,因为总能够通过 cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x = 1 \cos^{2}{x}+\sin^2{x}=1 cos2x+sin2x=1,将函数名统一,去括号,并转化为若干 t n ( x ) d ( t ( x ) ) t^{n}{(x)}\mathrm{d}(t(x)) tn(x)d(t(x))的积分问题解决

例

• ∫ sin ⁡ 3 x d x \int{\sin^{3}x}\mathrm{d}x ∫sin3xdx= ∫ sin ⁡ 2 x sin ⁡ x d x \int{\sin^{2}{x}\sin{x}}\mathrm{d}x ∫sin2xsinxdx= − ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x ) d ( cos ⁡ x ) -\int{(1-\cos^2{x})\mathrm{d}(\cos{x})} −∫(1−cos2x)d(cosx)= − ( cos ⁡ x − 1 3 cos ⁡ 3 x ) + C -(\cos{x}-\frac{1}{3}\cos^{3}x)+C −(cosx−31​cos3x)+C= − cos ⁡ x + 1 3 cos ⁡ 3 x + C -\cos{x}+\frac{1}{3}\cos^3{x}+C −cosx+31​cos3x+C
• ∫ cos ⁡ 3 x d x \int\cos^{3}x\mathrm{d}x ∫cos3xdx= ∫ cos ⁡ 2 x d ( sin ⁡ x ) \int\cos^{2}x\mathrm{d}(\sin{x}) ∫cos2xd(sinx)= ∫ ( 1 − sin ⁡ 2 x ) d ( sin ⁡ x ) \int(1-\sin^{2}x)\mathrm{d}(\sin{x}) ∫(1−sin2x)d(sinx)= sin ⁡ x − 1 3 sin ⁡ 3 x + C \sin{x}-\frac{1}{3}\sin^{3}x+C sinx−31​sin3x+C
• ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 5 x d x \int{\sin^{2}x\cos^5{x}}\mathrm{d}x ∫sin2xcos5xdx= ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ x d x \int{\sin^{2}x\cos^4{x}\cos{x}\mathrm{d}x} ∫sin2xcos4xcosxdx= ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d ( sin ⁡ x ) \int{\sin^2{x}\cos^4{x}\mathrm{d}(\sin{x})} ∫sin2xcos4xd(sinx) 凑三角微分⁶
  • = ∫ sin ⁡ 2 x ( 1 − sin ⁡ 2 x ) 2 d ( sin ⁡ x ) \int{\sin^2{x}(1-\sin^{2}x)^{2}}\mathrm{d}(\sin{x}) ∫sin2x(1−sin2x)2d(sinx) 函数名归一
  • = ∫ ( sin ⁡ 2 x − 2 sin ⁡ 4 x + sin ⁡ 6 x ) d ( sin ⁡ x ) \int{(\sin^2{x}-2\sin^{4}x+\sin^{6}x)}\mathrm{d}(\sin{x}) ∫(sin2x−2sin4x+sin6x)d(sinx) 展开为多项式
  • = 1 3 sin ⁡ 3 x − 2 5 sin ⁡ 5 x + 1 7 sin ⁡ 7 x + C \frac{1}{3}\sin^{3}x-\frac{2}{5}\sin^{5}x+\frac{1}{7}\sin^{7}x+C 31​sin3x−52​sin5x+71​sin7x+C 逐项积分得结果

类型2

• 一般地,对于 f ( x ) = sin ⁡ 2 k x cos ⁡ 2 l x f(x)=\sin^{2k}x\cos^{2l}x f(x)=sin2kxcos2lx, ( k , l ∈ N ) (k,l\in\mathbb{N}) (k,l∈N)型函数,总是可以利用三角恒等式:
  • sin ⁡ 2 x = 1 2 ( 1 − cos ⁡ 2 x ) \sin^{2}{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x}) sin2x=21​(1−cos2x)
  • cos ⁡ 2 x = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x ) \cos^2{x}=\frac{1}{2}(1+\cos{2x}) cos2x=21​(1+cos2x)
• 将 f ( x ) f(x) f(x)化为 cos ⁡ 2 x \cos{2x} cos2x的多项式,然后展开(去括号),得到关于 cos ⁡ 2 m x \cos{2mx} cos2mx的幂之和.
• 合理组合各项,将问题转换为类型一,逐项积分

例

• ∫ cos ⁡ 2 x d x \int\cos^{2}{x}\mathrm{d}x ∫cos2xdx= ∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x ) d x \int{\frac{1}{2}(1+\cos{2x})}\mathrm{d}x ∫21​(1+cos2x)dx= 1 2 ( ∫ 1 d x + ∫ cos ⁡ 2 x d x ) \frac{1}{2}({\int{1}\mathrm{d}x+\int\cos{2x}\mathrm{d}x}) 21​(∫1dx+∫cos2xdx)= 1 2 ( x + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d ( 2 x ) ) \frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\int{\cos{2x}\mathrm{d}(2x)}) 21​(x+21​∫cos2xd(2x))= 1 2 ( x + 1 2 sin ⁡ 2 x ) + C \frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin{2x})+C 21​(x+21​sin2x)+C= 1 2 x + 1 4 sin ⁡ 2 x + C \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin{2x}+C 21​x+41​sin2x+C

• ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d x \int{\sin^{2}x}\cos^{4}{x}\mathrm{d}x ∫sin2xcos4xdx= 1 8 ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x ) ( 1 + cos ⁡ 2 x ) 2 d x \frac{1}{8}\int{(1-\cos{2x})(1+\cos{2x})^2}\mathrm{d}x 81​∫(1−cos2x)(1+cos2x)2dx 三角幂降次

  • = 1 8 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 x − cos ⁡ 2 2 x − cos ⁡ 3 2 x ) d x \frac{1}{8}\int{(1+\cos{2x}-\cos^{2}2x-\cos^{3}2x)}\mathrm{d}x 81​∫(1+cos2x−cos22x−cos32x)dx 展开括号

  • = 1 8 ∫ ( cos ⁡ 2 x − cos ⁡ 3 2 x ) d x \frac{1}{8}\int{(\cos{2x}-\cos^3{2x})}\mathrm{d}x 81​∫(cos2x−cos32x)dx+ 1 8 ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 2 x ) d x \frac{1}{8}\int{(1-\cos^2{2x})}\mathrm{d}x 81​∫(1−cos22x)dx 分组积分(2部分)⁷

  • = 1 8 ∫ ( cos ⁡ 2 x ( 1 − cos ⁡ 2 2 x ) ) d x \frac{1}{8}\int(\cos{2x}(1-\cos^2{2x}))\mathrm{d}x 81​∫(cos2x(1−cos22x))dx+ 1 8 ∫ ( 1 − 1 2 ( 1 + cos ⁡ 4 x ) ) d x \frac{1}{8}\int{(1-\frac{1}{2}(1+\cos{4x}))}\mathrm{d}x 81​∫(1−21​(1+cos4x))dx

  • = 1 8 ∫ cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 2 x d x \frac{1}{8}\int{\cos{2x}\sin^{2}2x\mathrm{d}x} 81​∫cos2xsin22xdx+ 1 8 ∫ ( 1 2 − 1 2 cos ⁡ 4 x ) d x \frac{1}{8}\int(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{4x})\mathrm{d}x 81​∫(21​−21​cos4x)dx 第一部分转化为类型一的问题

  • = 1 8 1 2 ∫ sin ⁡ 2 2 x d ( sin ⁡ 2 x ) \frac{1}{8}\frac{1}{2}\int{\sin^2{2x}\mathrm{d}(\sin{2x})} 81​21​∫sin22xd(sin2x)+ 1 8 ( 1 2 x − 1 2 1 4 sin ⁡ 4 x ) \frac{1}{8}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\frac{1}{4}\sin{4x}) 81​(21​x−21​41​sin4x) 逐项积分即可

  • = 1 16 1 3 sin ⁡ 3 2 x \frac{1}{16}\frac{1}{3}\sin^{3}2x 161​31​sin32x+ 1 16 x − 1 64 sin ⁡ 4 x + C \frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin{4x}+C 161​x−641​sin4x+C

  • = 1 48 sin ⁡ 3 2 x + x 16 − 1 64 sin ⁡ 4 x + C \frac{1}{48}\sin^{3}2x+\frac{x}{16}-\frac{1}{64}\sin{4x}+C 481​sin32x+16x​−641​sin4x+C

类型3

• 一般地,对于 tan ⁡ n x sec ⁡ 2 k x \tan^{n}x\sec^{2k}x tannxsec2kx或 tan ⁡ 2 k − 1 x sec ⁡ n x \tan^{2k-1}x\sec^{n}x tan2k−1xsecnx, ( n , k ∈ N + ) (n,k\in\mathrm{N}_{+}) (n,k∈N+​)型函数的积分,依次作变换 u = tan ⁡ x u=\tan{x} u=tanx或 u = sec ⁡ x u=\sec{x} u=secx
  • 即,奇次正切,偶次正割
• ∫ sec ⁡ 6 x d x \int{\sec^{6}x\mathrm{d}x} ∫sec6xdx= ∫ ( sec ⁡ 2 x ) 2 sec ⁡ 2 x d x \int{(\sec^2{x})^2\sec^2{x}\mathrm{d}x} ∫(sec2x)2sec2xdx= ∫ ( 1 + tan ⁡ 2 x ) 2 d ( tan ⁡ x ) \int(1+\tan^{2}x)^{2}\mathrm{d}(\tan{x}) ∫(1+tan2x)2d(tanx)= ∫ ( 1 + 2 tan ⁡ 2 x + tan ⁡ 4 x ) d ( tan ⁡ x ) \int(1+2\tan^{2}x+\tan^{4}x)\mathrm{d}(\tan{x}) ∫(1+2tan2x+tan4x)d(tanx)= tan ⁡ x + 2 3 tan ⁡ 3 x + 1 5 tan ⁡ 5 x + C \tan{x}+\frac{2}{3}\tan^{3}x+\frac{1}{5}\tan^{5}x+C tanx+32​tan3x+51​tan5x+C
• ∫ tan ⁡ 5 x sec ⁡ 3 x d x \int\tan^{5}x\sec^3{x}\mathrm{d}x ∫tan5xsec3xdx= ∫ tan ⁡ 4 x sec ⁡ 2 x sec ⁡ x tan ⁡ x d x \int{\tan^{4}x\sec^{2}x\sec{x}\tan{x}\mathrm{d}x} ∫tan4xsec2xsecxtanxdx= ∫ tan ⁡ 4 sec ⁡ 2 x d ( sec ⁡ x ) \int{\tan^{4}\sec^{2}x}\mathrm{d}(\sec{x}) ∫tan4sec2xd(secx)
  • = ∫ ( sec ⁡ 2 x − 1 ) 2 sec ⁡ 2 x d ( sec ⁡ x ) \int(\sec^2{x}-1)^2\sec^2{x}\mathrm{d}(\sec{x}) ∫(sec2x−1)2sec2xd(secx)
  • = ∫ ( sec ⁡ 6 x − 2 sec ⁡ 4 x + sec ⁡ 2 x ) d ( sec ⁡ x ) \int(\sec^{6}x-2\sec^{4}x+\sec^{2}x)\mathrm{d}(\sec{x}) ∫(sec6x−2sec4x+sec2x)d(secx)
  • = 1 7 sec ⁡ 7 x − 2 5 sec ⁡ 5 x + 1 3 sec ⁡ 3 x + C \frac{1}{7}\sec^{7}x-\frac{2}{5}\sec^{5}x+\frac{1}{3}\sec^3{x}+C 71​sec7x−52​sec5x+31​sec3x+C

积化和差型

• 能够使用积化和差公式的三角函数构成的表达式,通过积化和差,将问题转化为倍角三角函数,逐项积分即可

• 例如 cos ⁡ m x cos ⁡ n x \cos{mx}\cos{nx} cosmxcosnx= 1 2 ( cos ⁡ ( ( m + n ) x ) + cos ⁡ ( ( m − n ) x ) ) \frac{1}{2}(\cos{((m+n)x)}+\cos((m-n){x})) 21​(cos((m+n)x)+cos((m−n)x))

• ∫ cos ⁡ 3 x cos ⁡ 2 x d x \int{\cos{3x}{\cos{2x}}}\mathrm{d}x ∫cos3xcos2xdx= 1 2 ∫ ( cos ⁡ 5 x + cos ⁡ x ) d x \frac{1}{2}\int(\cos{5x}+\cos{x})\mathrm{d}x 21​∫(cos5x+cosx)dx= 1 2 ( 1 5 sin ⁡ 5 x + sin ⁡ x ) + C \frac{1}{2}(\frac{1}{5}\sin{5x}+\sin{x})+C 21​(51​sin5x+sinx)+C= 1 sin ⁡ x + 1 10 sin ⁡ 5 x + C \frac{1}\sin{x}+\frac{1}{10}\sin{5x}+C sin1​x+101​sin5x+C

  • cos ⁡ 3 x cos ⁡ 2 x \cos{3x}\cos{2x} cos3xcos2x= 1 2 ( cos ⁡ ( 3 x + 2 x ) + cos ⁡ ( 3 x − 2 x ) ) \frac{1}{2}(\cos{(3x+2x)}+\cos(3x-2x)) 21​(cos(3x+2x)+cos(3x−2x))= 1 2 ( cos ⁡ 5 x + cos ⁡ x ) \frac{1}{2}(\cos{5x}+\cos{x}) 21​(cos5x+cosx)

本文注脚