回溯算法总结

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回溯算法总结

一、回溯算法总结

1、回溯算法理论基础

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为:

1、定义一个解空间，它包含问题的解。

2、利用适于搜索的方法组织解空间。

3、利用深度优先法搜索解空间。

4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯

回溯算法能解决如下问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

2.组合问题

2.1.组合问题

未剪枝的版本：

定义两个集合，一个集合树的结果，一个树的深度集合，一直遍历这个树直到收获结果，需要 k 个数

class Solution {List<List<Integer>> result= new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backtracking(n,k,1);return result;}public void backtracking(int n,int k,int startIndex){if (path.size() == k){result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i =startIndex;i<=n;i++){path.add(i);backtracking(n,k,i+1);path.removeLast();}}
}

根据遍历树的深度，剔除不正常的范围

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {combineHelper(n, k, 1);return result;}/*** 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex* @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。*/private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){//终止条件if (path.size() == k){result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){path.add(i);combineHelper(n, k, i + 1);path.removeLast();}}
}

2.2.组合三

在回溯算法：求组合总和（三）中集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合。

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {backTracking(n, k, 1, 0);return result;}private void backTracking(int targetSum, int k, int startIndex, int sum) {// 减枝if (sum > targetSum) {return;}if (path.size() == k) {if (sum == targetSum) result.add(new ArrayList<>(path));return;}// 减枝 9 - (k - path.size()) + 1for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++)         {path.add(i);sum += i;backTracking(targetSum, k, i + 1, sum);//回溯path.removeLast();//回溯sum -= i;}}
}

2.3、 组合总和（三）

在回溯算法：求组合总和（三）中集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合。

我们通过判断是同一树枝上“使用过”，一个维度是同一树层上“使用过”，来进行去重

class Solution {LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();boolean[] used;int sum = 0;public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {used = new boolean[candidates.length];// 加标志数组，用来辅助判断同层节点是否已经遍历Arrays.fill(used, false);// 为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序Arrays.sort(candidates);backTracking(candidates, target, 0);return ans;}private void backTracking(int[] candidates, int target, int startIndex) {if (sum == target) {ans.add(new ArrayList(path));}for (int i = startIndex; i < candidates.length; i++) {if (sum + candidates[i] > target) {break;}// 出现重复节点，同层的第一个节点已经被访问过，所以直接跳过if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && !used[i - 1]) {continue;}used[i] = true;sum += candidates[i];path.add(candidates[i]);// 每个节点仅能选择一次，所以从下一位开始backTracking(candidates, target, i + 1);used[i] = false;sum -= candidates[i];path.removeLast();}}
}

3.切割问题

class Solution {List<List<String>> lists = new ArrayList<>();Deque<String> deque = new LinkedList<>();public List<List<String>> partition(String s) {backTracking(s, 0);return lists;}private void backTracking(String s, int startIndex) {//如果起始位置大于s的大小，说明找到了一组分割方案if (startIndex >= s.length()) {lists.add(new ArrayList(deque));return;}for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {//如果是回文子串，则记录if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {String str = s.substring(startIndex, i + 1);deque.addLast(str);} else {continue;}//起始位置后移，保证不重复backTracking(s, i + 1);deque.removeLast();}}//判断是否是回文串private boolean isPalindrome(String s, int startIndex, int end) {for (int i = startIndex, j = end; i < j; i++, j--) {if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {return false;}}return true;}
}

4.子集问题

4.1、子集问题（一）

通过回溯进行

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {subsetsHelper(nums, 0);return result;}private void subsetsHelper(int[] nums, int startIndex){result.add(new ArrayList<>(path));//「遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合」。if (startIndex >= nums.length){ //终止条件可不加return;}for (int i = startIndex; i < nums.length; i++){path.add(nums[i]);subsetsHelper(nums, i + 1);path.removeLast();}}
}

4.2、子集问题（二）

我们通过树枝和树层来去重

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果boolean[] used;public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {if (nums.length == 0){result.add(path);return result;}Arrays.sort(nums);used = new boolean[nums.length];subsetsWithDupHelper(nums, 0);return result;}private void subsetsWithDupHelper(int[] nums, int startIndex){result.add(new ArrayList<>(path));if (startIndex >= nums.length){return;}for (int i = startIndex; i < nums.length; i++){if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]){continue;}path.add(nums[i]);used[i] = true;subsetsWithDupHelper(nums, i + 1);path.removeLast();used[i] = false;}}
}

5.排列问题

5.1.排列问题（一）

我们通过同一树层进行去重

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果boolean[] used;public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {if (nums.length == 0){return result;}used = new boolean[nums.length];permuteHelper(nums);return result;}private void permuteHelper(int[] nums){if (path.size() == nums.length){result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++){if (used[i]){continue;}used[i] = true;path.add(nums[i]);permuteHelper(nums);path.removeLast();used[i] = false;}}
}

5.2.排列问题（二）

我们通过同一树层，同一树枝进行去重

class Solution {//存放结果List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();//暂存结果List<Integer> path = new ArrayList<>();public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {boolean[] used = new boolean[nums.length];Arrays.fill(used, false);Arrays.sort(nums);backTrack(nums, used);return result;}private void backTrack(int[] nums, boolean[] used) {if (path.size() == nums.length) {result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// used[i - 1] == true，说明同⼀树⽀nums[i - 1]使⽤过// used[i - 1] == false，说明同⼀树层nums[i - 1]使⽤过// 如果同⼀树层nums[i - 1]使⽤过则直接跳过if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {continue;}//如果同⼀树⽀nums[i]没使⽤过开始处理if (used[i] == false) {used[i] = true;//标记同⼀树⽀nums[i]使⽤过，防止同一树枝重复使用path.add(nums[i]);backTrack(nums, used);path.remove(path.size() - 1);//回溯，说明同⼀树层nums[i]使⽤过，防止下一树层重复used[i] = false;//回溯}}}
}