合同变换法

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合同变换法

文章目录

• 合同变换法
• 一、实对称矩阵 A 对角元素均不为零
• 二、实对称矩阵 A 对角元素有零
• 三、实战一道题

合同变换法

已知二次型 f = x T A x f = x^T A x f=xTAx，求变换 x = P y x=Py x=Py，使得二次型化为标准型 f = y T Λ y f=y^T \Lambda y f=yTΛy，且 P T A P = Λ P^T A P = \Lambda PTAP=Λ。该过程的实质是一次合同变换，即

[ A , E ] → 对 A , E 作初等行变换，对 A 作相应的初等列变换 [ Λ , P T ] [A,E] \xrightarrow{对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换} [\Lambda, P^T] [A,E]对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换 ​[Λ,PT]

具体的操作看下面几个例子。

一、实对称矩阵 A 对角元素均不为零

【例 1】将二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 f(x1​,x2​,x3​)=x12​+5x22​+5x32​+2x1​x2​−4x1​x3​ 化为标准型。

【解】由合同变换得

[ 1 1 − 2 1 0 0 1 5 0 0 1 0 − 2 0 5 0 0 1 ] → r 2 − r 1 [ 1 1 − 2 1 0 0 0 4 2 − 1 1 0 − 2 0 5 0 0 1 ] → c 2 − c 1 [ 1 0 − 2 1 0 0 0 4 2 − 1 1 0 − 2 2 5 0 0 1 ] → r 3 + 2 r 1 [ 1 0 − 2 1 0 0 0 4 2 − 1 1 0 0 2 1 2 0 1 ] → c 3 + 2 c 1 [ 1 0 0 1 0 0 0 4 2 − 1 1 0 0 2 1 2 0 1 ] → ( ∗ ) r 3 − 1 2 r 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 4 2 − 1 1 0 0 0 0 5 2 − 1 2 1 ] → c 3 − 1 2 c 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 4 0 − 1 1 0 0 0 0 5 2 − 1 2 1 ] \begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2-r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2-c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3+2r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3+2c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{(*)r_3-\frac{1}{2}r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-\frac{1}{2}c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} r2​−r1​ ​r3​+2r1​ ​(∗)r3​−21​r2​ ​​ ​11−2​150​−205​100​010​001​​ ​ ​10−2​140​−225​1−10​010​001​​ ​c2​−c1​ ​ ​10−2​042​−225​1−10​010​001​​ ​ ​100​042​−221​1−12​010​001​​ ​c3​+2c1​ ​ ​100​042​021​1−12​010​001​​ ​ ​100​040​020​1−125​​01−21​​001​​ ​c3​−21​c2​ ​ ​100​040​000​1−125​​01−21​​001​​ ​​

所以标准型为 y 1 2 + 4 y 2 2 y_1^2 + 4y_2^2 y12​+4y22​，所作变换矩阵为 P = [ 1 − 1 5 2 0 1 − 1 2 0 0 1 ] P = \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] P= ​100​−110​25​−21​1​ ​，使 x = P y x=Py x=Py。

若要求规范型，需对上述继续作合同变换，将 Λ \Lambda Λ 上的对角元素 a a a 化为 − 1 -1 −1 或 1 1 1 或 0 0 0，为此需作一次初等倍乘行变换（ r n / a r_n / \sqrt{a} rn​/a ​），再对应作一次初等倍乘列变换（ c n / a c_n / \sqrt{a} cn​/a ​）。

→ r 2 / 4 [ 1 0 0 1 0 0 0 2 0 − 1 2 1 2 0 0 0 0 5 2 − 1 2 1 ] → c 2 / 4 [ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 − 1 2 1 2 0 0 0 0 5 2 − 1 2 1 ] \begin{aligned} & \xrightarrow{r_2 / \sqrt{4}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2 / \sqrt{4}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} ​r2​/4 ​ ​ ​100​020​000​1−21​25​​021​−21​​001​​ ​c2​/4 ​ ​ ​100​010​000​1−21​25​​021​−21​​001​​ ​​

所以规范型为 z 1 2 + z 2 2 z_1^2 + z_2^2 z12​+z22​，所作变换矩阵为 Q = [ 1 − 1 2 5 2 0 1 2 − 1 2 0 0 1 ] Q = \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] Q= ​100​−21​21​0​25​−21​1​ ​，使 x = Q z x=Qz x=Qz。

需要注意的是，合同变换的实质仍是配方，但配方法只是用了某种坐标变换，得到标准型的系数，不一定是特征值（不要以为使用该方法得到的 Λ \Lambda Λ 就是特征值！ Λ \Lambda Λ 只能指示正、负和零特征值的个数，即正、负惯性指数一定是唯一的）。只有进行正交变换得到的系数才是特征值。

由此可知，二次型的标准型并不唯一，但是规范型唯一！如对（*）处还可作如下合同变换

→ ( ∗ ) r 3 ↔ r 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 2 1 2 0 1 0 4 2 − 1 1 0 ] → c 3 ↔ c 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0 1 0 2 4 − 1 1 0 ] → r 3 − 2 r 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0 1 0 0 0 − 5 1 − 2 ] → c 3 − 2 c 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 − 5 1 − 2 ] \begin{aligned} \xrightarrow{(*)r_3 \leftrightarrow r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3 \leftrightarrow c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 1 & 0 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3-2r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & -2 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-2c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & -2 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} (∗)r3​↔r2​ ​r3​−2r2​ ​​ ​100​024​012​12−1​001​010​​ ​c3​↔c2​ ​ ​100​012​024​12−1​001​010​​ ​ ​100​010​020​12−5​001​01−2​​ ​c3​−2c2​ ​ ​100​010​000​12−5​001​01−2​​ ​​

所以标准型为 y 1 2 + y 2 2 y_1^2 + y_2^2 y12​+y22​，所作变换矩阵为 P = [ 1 2 − 5 0 0 1 0 1 − 2 ] P = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right] P= ​100​201​−51−2​ ​，使 x = P y x=Py x=Py。

【例 2】（2014 年数二第 14 题）设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 − x 2 2 + 2 a x 1 x 2 + 4 x 2 x 3 f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2^2 + 2ax_1x_2 + 4x_2x_3 f(x1​,x2​,x3​)=x12​−x22​+2ax1​x2​+4x2​x3​ 的负惯性指数为 1 1 1，求 a a a 的取值范围。

【解】本题可使用配方法，但对于填空题来说比较麻烦。不妨采用合同变换法迅速解决本题。

[ 1 0 a 1 0 0 0 − 1 2 0 1 0 a 2 0 0 0 1 ] → r 3 − a r 1 [ 1 0 a 1 0 0 0 − 1 2 0 1 0 0 2 − a 2 1 − a 0 1 ] → c 3 − a c 1 [ 1 0 0 1 0 0 0 − 1 2 0 1 0 0 2 − a 2 1 − a 0 1 ] → r 3 + 2 r 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 − 1 2 0 1 0 0 0 4 − a 2 1 − a 2 1 ] → c 3 + 2 c 2 [ 1 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 4 − a 2 1 − a 2 1 ] \begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ a & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3-ar_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -a^2 & 1-a & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-ac_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -a^2 & 1-a & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3+2r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4-a^2 & 1-a & 2 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3+2c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4-a^2 & 1-a & 2 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} r3​−ar1​ ​r3​+2r2​ ​​ ​10a​0−12​a20​100​010​001​​ ​ ​100​0−12​a2−a2​101−a​010​001​​ ​c3​−ac1​ ​ ​100​0−12​02−a2​101−a​010​001​​ ​ ​100​0−10​024−a2​101−a​012​001​​ ​c3​+2c2​ ​ ​100​0−10​004−a2​101−a​012​001​​ ​​

因为负惯性指数为 1 1 1，所以 4 − a 2 ≥ 0 4-a^2 \geq 0 4−a2≥0，解得 − 2 ≤ a ≤ 2 -2 \leq a \leq 2 −2≤a≤2。

二、实对称矩阵 A 对角元素有零

当发现二次型所对应的实对称矩阵 A A A 上的对角元素为 0 时，需要先想办法将对角线上的元素变成不为 0 的数，具体看下例。

【例 3】将二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 f(x1​,x2​,x3​)=2x1​x2​+2x1​x3​+2x2​x3​ 化为标准型。

【解】发现对角线上第一个元素为 0，为使其不为 0，可将第二行加到第一行上，相应的就要作一次列变换，将第二列加到第一列上。对角线上其他位置为 0 的元素也是类似的处理方法。

[ 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 ] → r 1 + r 2 [ 1 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 ] → c 1 + c 2 [ 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 ] → r 2 − 1 2 r 1 [ 2 1 2 1 1 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 2 1 0 0 0 1 ] → c 2 − 1 2 c 1 [ 2 0 2 1 1 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 2 0 0 0 0 1 ] → r 3 − r 1 [ 2 0 2 1 1 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 − 1 1 ] → c 3 − c 1 [ 2 0 0 1 1 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 − 1 1 ] \begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_1+r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1+c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2-\frac{1}{2}r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2-\frac{1}{2}c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3-r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} r1​+r2​ ​r2​−21​r1​ ​r3​−r1​ ​​ ​011​101​110​100​010​001​​ ​ ​111​101​210​100​110​001​​ ​c1​+c2​ ​ ​212​101​210​100​110​001​​ ​ ​202​1−21​1​200​1−21​0​121​0​001​​ ​c2​−21​c1​ ​ ​202​0−21​0​200​1−21​0​121​0​001​​ ​ ​200​0−21​0​20−2​1−21​−1​121​−1​001​​ ​c3​−c1​ ​ ​200​0−21​0​00−2​1−21​−1​121​−1​001​​ ​​

所以标准型为 2 y 1 2 − 1 2 y 2 2 − 2 y 3 2 2y_1^2 -\frac{1}{2} y_2^2 -2y_3^2 2y12​−21​y22​−2y32​，所作变换矩阵为 P = [ 1 − 1 2 − 1 1 1 2 − 1 0 0 1 ] P = \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] P= ​110​−21​21​0​−1−11​ ​，使 x = P y x=Py x=Py。

若要求规范型，则继续进行变换

→ r 1 / 2 [ 2 0 0 1 2 1 2 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 − 1 1 ] → c 1 / 2 [ 1 0 0 1 2 1 2 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 − 1 1 ] → r 2 / 1 2 [ 1 0 0 1 2 1 2 0 0 − 1 2 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 − 1 1 ] → c 2 / 1 2 [ 1 0 0 1 2 1 2 0 0 − 1 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 − 1 1 ] → r 3 / 2 [ 1 0 0 1 2 1 2 0 0 − 1 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 2 − 1 2 − 1 2 1 2 ] → c 3 / 2 [ 1 0 0 1 2 1 2 0 0 − 1 0 − 1 2 1 2 0 0 0 − 1 − 1 2 − 1 2 1 2 ] \begin{aligned} & \xrightarrow{r_1/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} \sqrt{2} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ & \xrightarrow{r_2/\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2/\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ & \xrightarrow{r_3/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} ​r1​/2 ​ ​ ​2 ​00​0−21​0​00−2​2 ​1​−21​−1​2 ​1​21​−1​001​​ ​c1​/2 ​ ​ ​100​0−21​0​00−2​2 ​1​−21​−1​2 ​1​21​−1​001​​ ​r2​/2 ​1​ ​ ​100​0−2 ​1​0​00−2​2 ​1​−2 ​1​−1​2 ​1​2 ​1​−1​001​​ ​c2​/2 ​1​ ​ ​100​0−10​00−2​2 ​1​−2 ​1​−1​2 ​1​2 ​1​−1​001​​ ​r3​/2 ​ ​ ​100​0−10​00−2 ​​2 ​1​−2 ​1​−2 ​1​​2 ​1​2 ​1​−2 ​1​​002 ​1​​​ ​c3​/2 ​ ​ ​100​0−10​00−1​2 ​1​−2 ​1​−2 ​1​​2 ​1​2 ​1​−2 ​1​​002 ​1​​​ ​​

所以规范型为 z 1 2 − z 2 2 − z 3 2 z_1^2 -z_2^2-z_3^2 z12​−z22​−z32​，所作变换矩阵为 Q = [ 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 1 2 − 1 2 0 0 1 2 ] Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right] Q= ​2 ​1​2 ​1​0​−2 ​1​2 ​1​0​−2 ​1​−2 ​1​2 ​1​​ ​，使 x = Q z x=Qz x=Qz。

三、实战一道题

【例 4】（2021年数一张宇八套卷卷一第21题）已知实对称矩阵 A = [ 2 2 2 a ] A = \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & a \end{matrix}\right] A=[22​2a​] 和 B = [ 4 3 3 1 ] B = \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right] B=[43​31​]，其中 a a a 为正整数，求可逆矩阵 C C C，使得 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B。

【解】由于 A A A 有未知参数，先对 B B B 进行合同变换。

[ 4 3 1 0 3 1 0 1 ] → r 2 − 3 4 r 1 [ 4 3 1 0 0 − 5 4 − 3 4 1 ] → c 2 − 3 4 c 1 [ 4 0 1 0 0 − 5 4 − 3 4 1 ] → r 1 / 2 [ 2 0 1 2 0 0 − 5 4 − 3 4 1 ] → c 1 / 2 [ 1 0 1 2 0 0 − 5 4 − 3 4 1 ] → r 2 / 5 2 [ 1 0 1 2 0 0 − 5 2 − 3 2 5 2 5 ] → c 2 / 5 2 [ 1 0 1 2 0 0 − 1 − 3 2 5 2 5 ] \begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2 - \frac{3}{4}r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2 - \frac{3}{4}c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_1/2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1/2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2/\frac{\sqrt{5}}{2}} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{5}}{2} & -\frac{3}{2\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2/\frac{\sqrt{5}}{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & -\frac{3}{2\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} r2​−43​r1​ ​r1​/2 ​r2​/25 ​​ ​​[43​31​10​01​​][40​3−45​​1−43​​01​​]c2​−43​c1​ ​[40​0−45​​1−43​​01​​][20​0−45​​21​−43​​01​​]c1​/2 ​[10​0−45​​21​−43​​01​​][10​0−25 ​​​21​−25 ​3​​05 ​2​​​]c2​/25 ​​ ​[10​0−1​21​−25 ​3​​05 ​2​​​]​

由此可知 B B B 的正、负惯性指数均为 1，变换矩阵为 C 2 = [ 1 2 − 3 2 5 0 2 5 ] C_2 = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2\sqrt{5}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{matrix} \right] C2​=[21​0​−25 ​3​5 ​2​​]，使得 C 2 T B C 2 = [ 1 0 0 − 1 ] C_2^TBC_2 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right] C2T​BC2​=[10​0−1​]。下面来对 A A A 进行合同变换。

[ 2 2 1 0 2 a 0 1 ] → r 2 − r 1 [ 2 2 1 0 0 a − 2 − 1 1 ] → c 2 − c 1 [ 2 0 1 0 0 a − 2 − 1 1 ] \begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & a & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2 - r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & a-2 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2 - c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & a-2 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} r2​−r1​ ​​[22​2a​10​01​​][20​2a−2​1−1​01​​]c2​−c1​ ​[20​0a−2​1−1​01​​]​

由于 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B，即 A A A 与 B B B 合同，所以两者的正、负惯性指数相等，于是有 a − 2 < 0 a-2<0 a−2<0，又因为 a a a 为正整数，所以 a = 1 a=1 a=1。继续对 A A A 进行合同变换得

[ 2 0 1 0 0 − 1 − 1 1 ] → r 1 / 2 [ 2 0 1 2 0 0 − 1 − 1 1 ] → c 1 / 2 [ 1 0 1 2 0 0 − 1 − 1 1 ] \begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_1 / \sqrt{2}} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} \sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1 / \sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned} r1​/2 ​ ​​[20​0−1​1−1​01​​][2 ​0​0−1​2 ​1​−1​01​​]c1​/2 ​ ​[10​0−1​2 ​1​−1​01​​]​

由此可知变换矩阵为 C 1 = [ 1 2 − 1 0 1 ] C_1 = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] C1​=[2 ​1​0​−11​]，使得 C 1 T A C 1 = [ 1 0 0 − 1 ] C_1^TAC_1 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right] C1T​AC1​=[10​0−1​]。

因此有 C 1 T A C 1 = C 2 T B C 2 C_1^TAC_1 = C_2^TBC_2 C1T​AC1​=C2T​BC2​，即 ( C 1 C 2 − 1 ) T A ( C 1 C 2 − 1 ) = B (C_1C_2^{-1})^TA(C_1C_2^{-1}) = B (C1​C2−1​)TA(C1​C2−1​)=B，因此所求矩阵为

C = C 1 C 2 − 1 = [ 1 2 − 1 0 1 ] [ 2 3 2 0 5 2 ] = [ 2 3 2 − 2 5 4 0 5 2 ] C = C_1C_2^{-1} = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{4} \\ 0 & \frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right] C=C1​C2−1​=[2 ​1​0​−11​][20​23​25 ​​​]=[2 ​0​432 ​−25 ​​25 ​​​]