AM@点与点集的关系@n维空间邻域

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AM@点与点集的关系@n维空间邻域

文章目录

• • abstract
  • 坐标平面
  • • 平面点集
  • 平面邻域
  • 利用邻域描述点与点集的关系
  • • 聚点
    • 点集分类
    • n n n维空间
    • • 基础概念
      • 线性运算和空间概念
    • 空间中的两点距离
    • n n n维空间中的变元极限
    • n n n维空间内的邻域

abstract

• 坐标平面和平面点集, n n n维空间点集
• 点与点集的关系
• n维空间及其邻域

坐标平面

• 建立了坐标系的平面称为坐标平面
• 二元有序实数组 ( x , y ) (x,y) (x,y)的全体(点坐标集合),即 R 2 = R × R \bold{R^2=R\times{R}} R2=R×R= { ( x , y ) ∣ x , y ∈ R } \set{(x,y)|x,y\in{\bold{R}}} {(x,y)∣x,y∈R}表示的就是坐标平面

平面点集

• 坐标平面上具有某种性质的点集合称为平面点集,记为 E = { ( x , y ) ∣ ( x , y ) 具有性质 P } E=\set{(x,y)|(x,y)具有性质P} E={(x,y)∣(x,y)具有性质P}
• 例如平面上以原点为中心, r r r为半径的圆内所有点的集合为 G = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 < r 2 } G=\set{(x,y)|x^2+y^2<r^2} G={(x,y)∣x2+y2<r2}
  • 或非坐标形式的平面点集,比如令 ∣ O P ∣ |OP| ∣OP∣表示 P P P到 O O O的距离,则 G = { P ∣ ∣ O P ∣ < r } G=\set{P||OP|<r} G={P∣∣OP∣<r}

平面邻域

• 平面邻域,即 R 2 \bold{R}^2 R2中的邻域

• 设 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)是平面上的一点, δ \delta δ是某个正数,与 P 0 P_0 P0​的距离小于 δ \delta δ的所有点的全体构成的集合,称为 P 0 P_0 P0​的邻域,记为 U ( P 0 , δ ) U(P_0,\delta) U(P0​,δ),即 U ( P 0 , δ ) U(P_0,\delta) U(P0​,δ)= { ( x , y ) ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ } \set{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta} {(x,y)∣(x−x0​)2+(y−y0​)2 ​<δ};

  • 在不强调 δ \delta δ时,点 P 0 P_0 P0​的邻域简记为 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0​)
  • 去心邻域: U ˚ ( P 0 , δ ) \mathring{U}(P_0,\delta) U˚(P0​,δ)= { ( x , y ) ∣ 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ } \set{(x,y)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta} {(x,y)∣0<(x−x0​)2+(y−y0​)2 ​<δ};或简记为 U ˚ ( P 0 ) \mathring{U}(P_0) U˚(P0​)

• 在几何上, U ( P 0 , δ ) U(P_0,\delta) U(P0​,δ)表示的是以 P 0 P_0 P0​为圆心,以 δ \delta δ为半径的圆内部的所有点的集合

利用邻域描述点与点集的关系

• 记 E E E为平面上的一个点集, P P P是平面上的一点,则 P P P和 E E E之间,(即 P ∈ R 2 P\in{\bold{R}^2} P∈R2和 E ⊂ R 2 E\sub{\bold{R}^2} E⊂R2, P , E P,E P,E的关系)必然存在3种关系:内点,外点,边界点
  • 内点:若 ∃ U ( P ) ⊂ E \exist{U(P)}\sub{E} ∃U(P)⊂E,则 P P P是 E E E的内点,( P ∈ E P\in{E} P∈E)
  • 外点:若 ∃ U ( P ) ∩ E \exist{U(P)}\cap{E} ∃U(P)∩E= ∅ \emptyset ∅,则 P P P为 E E E的外点, ( P ∉ E ) (P\notin{E}) (P∈/E)
  • 边界点:若 ∀ U ( P ) ∩ E ≠ 0 \forall{U(P)}\cap{E}\neq{0} ∀U(P)∩E=0,且 ∀ U ( P ) ∩ E ‾ ≠ 0 \forall{U(P)}\cap{\overline{E}}\neq{0} ∀U(P)∩E=0,则称 P P P为 E E E的边界点,( P ∈ E P\in{E} P∈E或 P ∉ E P\notin{E} P∈/E都有可能)
    • 其中 E ‾ \overline{E} E表示 E E E以外的点的集合
• 边界: E E E的边界点全体称为 E E E的边界,记为 ∂ E \partial{E} ∂E

聚点

• 点与点集的另一种关系:聚点,其同时也是上述三种基本关系的一种

• 聚点: ∀ δ > 0 \forall{\delta}>0 ∀δ>0, ∃ Q ∈ U ˚ ( P , δ ) \exist{Q}\in\mathring{U}(P,\delta) ∃Q∈U˚(P,δ)且 Q ∈ E Q\in{E} Q∈E,则称 P P P为 E E E的聚点

• 由定义可知, E E E的聚点 P P P可能属于 E E E,也可能不属于 E E E

  • 例如,设平面点集 E = { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 ⩽ 2 } E=\set{(x,y)|1<x^2+y^2\leqslant{2}} E={(x,y)∣1<x2+y2⩽2}
    • 满足 1 < x 2 + y 2 < 2 1<x^2+y^2<2 1<x2+y2<2的一切点 ( x , y ) (x,y) (x,y)都是 E E E的内点,
    • 满足 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1的一切点 ( x , y ) (x,y) (x,y)都是 E E E的边界点,它们都不属于 E E E;
    • 满足 x 2 + y 2 = 2 x^2+y^2=2 x2+y2=2的一切点 ( x , y ) (x,y) (x,y)也是 E E E的边界点,它们都属于 E E E;
    • 点 E E E以及它的边界 ∂ E \partial{E} ∂E上的一切点都是 E E E的聚点

点集分类

以下点集的分类都是基于边界与点集的关系作分类,作点集分类首先是找到边界

• 若 E E E的所有点都是它的内点,则 E E E为开集

  • 例如 { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 < 2 } \set{(x,y)|1<x^2+y^2<2} {(x,y)∣1<x2+y2<2}

• 若 E E E的边界 ∂ E ⊂ E \partial{E}\sub{E} ∂E⊂E,则 E E E为闭集

  • 例如 { ( x , y ) ∣ 1 ⩽ x 2 + y 2 ⩽ 2 } \set{(x,y)|1\leqslant x^2+y^2\leqslant 2} {(x,y)∣1⩽x2+y2⩽2}

• 非开集也非闭集

  • 例如: { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 ⩽ 2 } \set{(x,y)|1<x^2+y^2\leqslant 2} {(x,y)∣1<x2+y2⩽2},此点集属于半开半闭点集

• 连通集:若 ∀ P 1 , P 2 ∈ E \forall{P_1,P_2}\in{E} ∀P1​,P2​∈E,总可以用折线 S S S连结起来,且折线上的点都属于 E E E即( S ∩ E = S S\cap{E}=S S∩E=S),则称点集 E E E是连通的

• 区域:连通的开集称为开区域,简称区域

  • 例如: { ( x , y ) ∣ x + y ∈ ( − 1 , 1 ) } \set{(x,y)|x+y\in(-1,1)} {(x,y)∣x+y∈(−1,1)}; { ( x , y ) ∣ x + y > 0 } \set{(x,y)|x+y>0} {(x,y)∣x+y>0}

• 区域连同它的边界一同构成闭区域

  • 例如: { ( x , y ) ∣ x + y ∈ [ − 1 , 1 ] } \set{(x,y)|x+y\in[-1,1]} {(x,y)∣x+y∈[−1,1]}

• 有界集:对于平面点集 E E E,若存在一个正数 r r r,使得 ( E ⊂ U ( O , r ) ) (E\sub{U(O,r)}) (E⊂U(O,r)),则称 E E E是有界的;否则称为无界的(其中 O O O为坐标原点)

  • 例如: { ( x , y ) ∣ 1 ⩽ x 2 + y 2 ⩽ 2 } \set{(x,y)|1\leqslant{x^2+y^2\leqslant{2}}} {(x,y)∣1⩽x2+y2⩽2}是有界闭区域
  • 而 { ( x , y ) ∣ x + y ⩾ 0 } \set{(x,y)|x+y\geqslant 0} {(x,y)∣x+y⩾0}是无界闭区域(该点集只有一条边界,即直线 x + y = 0 x+y=0 x+y=0;另一侧则是无限衍生没有边界;而只要边界位于点集内,那么就是闭区域,而不要求闭区域是有界的)

n n n维空间

基础概念

• 设 n n n为取定的一个正整数,我们用 R n \bold{R}^{n} Rn表示 n n n元有序实数组 ( x 1 , ⋯ , x n ) (x_1,\cdots,x_n) (x1​,⋯,xn​)的全体所构成的集合,即 R n \bold{R}^{n} Rn= R × R × ⋯ × R \bold{R\times{R}\times{\cdots}\times{R}} R×R×⋯×R= { ( x 1 , ⋯ , x n ) ∣ x i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n } \set{(x_1,\cdots,x_n)|x_{i}\in{\bold{R}},i=1,2,\cdots,n} {(x1​,⋯,xn​)∣xi​∈R,i=1,2,⋯,n}
• R n \bold{R}^{n} Rn中的元素 ( x 1 , ⋯ , x n ) (x_1,\cdots,x_n) (x1​,⋯,xn​)有时也用单个粗体字母表示,例如 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) \bold{x}=(x_1,\cdots,x_n) x=(x1​,⋯,xn​),
• 零元:当 x i = 0 x_i=0 xi​=0, i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n时,称该元素为 R n \bold{R}^{n} Rn中的零元,记为 0 \bold{0} 0或 O O O
• 在解析几何中,通过直角坐标系, R 2 \bold{R}^{2} R2(或 R 3 \bold{R}^{3} R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量一一对应,所以 R n \bold{R}^{n} Rn中的元素 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) \bold{x}=(x_1,\cdots,x_n) x=(x1​,⋯,xn​)也称为 R n \bold{R}^{n} Rn的一个点或一个 n n n维向量
• x i x_i xi​称为点 x \bold{x} x的第 i i i个坐标或向量的第 i i i个分量
• R n \bold{R}^{n} Rn中的零元称为 R n \bold{R}^{n} Rn中的坐标原点或** n n n维零向量**

线性运算和空间概念

• 设 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) \bold{x}=(x_1,\cdots,x_n) x=(x1​,⋯,xn​), y = ( y 1 , ⋯ , y n ) \bold{y}=(y_1,\cdots,y_n) y=(y1​,⋯,yn​)为 R n \bold{R}^{n} Rn中任意两个元素, λ ∈ R \lambda\in{\bold{R}} λ∈R规定
  • x + y = ( x 1 + y 1 , ⋯ , x n + y n ) \bold{x+y}=(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n) x+y=(x1​+y1​,⋯,xn​+yn​)
  • λ x \lambda{\bold{x}} λx= ( λ x 1 , ⋯ , λ x n ) (\lambda{x_1},\cdots,\lambda{x_n}) (λx1​,⋯,λxn​)
• 定义了线性运算的集合 R n \bold{R}^{n} Rn称为** n n n维空间**

空间中的两点距离

• R n \bold{R}^{n} Rn中的点 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) \bold{x}=(x_1,\cdots,x_n) x=(x1​,⋯,xn​), y = ( y 1 , ⋯ , y n ) \bold{y}=(y_1,\cdots,y_n) y=(y1​,⋯,yn​)的距离记为 ρ ( x , y ) \rho(\bold{x,y}) ρ(x,y)
• 规定 ρ ( x , y ) \rho(\bold{x,y}) ρ(x,y)= ( x 1 − y 1 ) 2 + ⋯ + ( x n − y n ) 2 \sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} (x1​−y1​)2+⋯+(xn​−yn​)2 ​
• R n \bold{R}^{n} Rn中, x \bold{x} x与 0 \bold{0} 0的距离 ρ ( x , 0 ) \rho(\bold{x,0}) ρ(x,0)记为 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\bold{x}|| ∣∣x∣∣
  • 特别的,在 R k , k ⩽ 3 \bold{R}^{k},k\leqslant{3} Rk,k⩽3时, ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\bold{x}|| ∣∣x∣∣简记为 ∣ x ∣ |x| ∣x∣
  • ∣ ∣ x ∣ ∣ \bold{||x||} ∣∣x∣∣= x 1 2 + ⋯ + x n 2 \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2} x12​+⋯+xn2​ ​
  • 令 z = x − y \bold{z=x-y} z=x−y= ( x 1 − y 1 , ⋯ , x n − y n ) (x_1-y_1,\cdots,x_n-y_n) (x1​−y1​,⋯,xn​−yn​),那么有 ∣ ∣ z ∣ ∣ = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ \bold{||z||}=\bold{||x-y||} ∣∣z∣∣=∣∣x−y∣∣= ( x 1 − y 1 ) 2 + ⋯ + ( x n − y n ) 2 \sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} (x1​−y1​)2+⋯+(xn​−yn​)2 ​= ρ ( x , y ) \rho(\bold{x,y}) ρ(x,y)

n n n维空间中的变元极限

• 在 n n n维空间 R n \bold{R}^{n} Rn中定义了距离后,就可以定义 R n \bold{R}^{n} Rn中的变元极限
• 设 x = ( x 1 , ⋯ , x n ) \bold{x}=(x_1,\cdots,x_n) x=(x1​,⋯,xn​), a \bold{a} a= ( a 1 , ⋯ , a n ) (a_1,\cdots,a_n) (a1​,⋯,an​), x , a ∈ R n \bold{x,a}\in{\bold{R}^{n}} x,a∈Rn,若 ∣ ∣ x → a ∣ ∣ → 0 \bold{||x\to{a}}||\to{0} ∣∣x→a∣∣→0,则称变元 x \bold{x} x在 R n \bold{R}^{n} Rn中趋于固定元 a \bold{a} a,记为 x → a \bold{x\to{a}} x→a
  • 显然, x → a \bold{x\to{a}} x→a ⇔ \Leftrightarrow ⇔ x i → a i x_i\to{a_i} xi​→ai​, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n)

n n n维空间内的邻域

• 设 a \bold{a} a= ( a 1 , ⋯ , a n ) ∈ R n (a_1,\cdots,a_n)\in{\bold{R}^{n}} (a1​,⋯,an​)∈Rn, δ \delta δ是某个正数,则 n n n维空间内的点集 U ( a , δ ) U(\bold{a},\delta) U(a,δ)= { x ∣ x ∈ R n , ρ ( x , a < δ ) } \set{\bold{x}|\bold{x\in{R}}^{n},\rho(\bold{x,a}<\delta)} {x∣x∈Rn,ρ(x,a<δ)}就定义为 R n \bold{R}^{n} Rn中 a \bold{a} a的 δ \delta δ邻域
• 类似的可以定义 n n n为空间 R n \bold{R}^{n} Rn内的点集的内点,外点,边界点,聚点;以及点集的分类:开集,闭集,区域等概念