AM@多元函数求导@偏导数

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AM@多元函数求导@偏导数

文章目录

• • abstract
  • 偏导数👺
  • • 点处偏导数
    • 可偏导
    • 偏导函数
    • n n n元函数的偏导数
    • 偏导数和偏导函数的关系
    • 偏导数计算技巧
    • 间断点处的偏导数
    • 多元函数的偏导与连续
    • 偏导数的几何意义
  • 小结
  • • 例
    • 例

abstract

• 多元函数求导
• 偏导数和偏导函数及其计算

偏导数👺

• 以二元偏导数为例,多元偏导数类似

点处偏导数

• 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的某个邻域内有定义,当自变量 y y y固定在 y 0 y_0 y0​,而自变量 x x x在点 x 0 x_0 x0​处有增量 Δ x \Delta{x} Δx, ( Δ x ≠ 0 ) (\Delta{x}\neq{0}) (Δx=0)时,函数 z z z对 x x x的偏增量为 Δ x z \Delta_{x}z Δx​z= f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0) f(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​),若极限 lim ⁡ Δ x → 0 Δ x z Δ x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta_{x}{z}}{\Delta{x}} Δx→0lim​ΔxΔx​z​= lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}} Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​存在,则称此极限为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)处对 x x x的偏导数,记为

  • ∂ z ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{x}}|_{(x_0,y_0)} ∂x∂z​∣(x0​,y0​)​或 ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(x_0,y_0)} ∂x∂f​∣(x0​,y0​)​或 z x ∣ ( x 0 , y 0 ) z_{x}|_{(x_0,y_0)} zx​∣(x0​,y0​)​或 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)
    • 其中前三种又可以作 ∂ z ∂ x ∣ x → x 0 y → y 0 \frac{\partial{z}}{\partial{x}}|_{\substack{x\to{x_0}\\y\to{y_0}}} ∂x∂z​∣x→x0​y→y0​​​或 ∂ f ∂ x ∣ x → x 0 y → y 0 \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{\substack{x\to{x_0}\\y\to{y_0}}} ∂x∂f​∣x→x0​y→y0​​​或 z x ∣ x → x 0 y → y 0 z_{x}|_{\substack{x\to{x_0}\\y\to{y_0}}} zx​∣x→x0​y→y0​​​
    • 最后一种最简单,为函数式写法

• 简单地说:若

  • f x ′ ( x 0 , y 0 ) = ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}'(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right|_{(x_0,y_0)} =\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}} fx′​(x0​,y0​)=∂x∂f​ ​(x0​,y0​)​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

• 则称此极限 f x ′ ( x 0 , y 0 ) f_{x}'(x_0,y_0) fx′​(x0​,y0​)为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的对于变量 x x x的偏导数

可偏导

• 当函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)处关于自变量 x , y x,y x,y的偏导数都存在时,则称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 P 0 P_0 P0​处可偏导

偏导函数

• 若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D内每一点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处对 x x x的偏导数都存在,表示为 f x ′ ( x , y ) f_{x}'(x,y) fx′​(x,y),则这个偏导数就是 x , y x,y x,y的二元函数,称为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)对自变量 x x x的偏导函数,在不引起混淆的情况下,偏导函数也简称为偏导数;

• 偏导函数可以记为 ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z​, ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f​. z x z_{x} zx​, f x ( x , y ) f_{x}(x,y) fx​(x,y);

  • 其中 z x z_{x} zx​还可以作 z x ′ z_{x}' zx′​; f x ( x , y ) f_{x}(x,y) fx​(x,y)还可以作 f x ′ ( x , y ) f'_{x}(x,y) fx′​(x,y);
  • 即在给出脚标变量后,上表的一撇( ′ ' ′)可以省略

• 由 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)具有一般性(任意性),所以上述形式可写作

  • f x ′ ( x , y ) = ∂ f ∂ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x f_{x}'(x,y)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} =\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(x+\Delta{x},y)-f(x,y)}{\Delta{x}} fx′​(x,y)=∂x∂f​=Δx→0lim​Δxf(x+Δx,y)−f(x,y)​

• 类似的,另一自变量 y y y的偏导函数定义相仿.

  • f y ′ ( x , y ) = ∂ f ∂ x = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δ y f_{y}'(x,y)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} =\lim_{\Delta{y}\to{0}}\frac{f(x,y+\Delta{y})-f(x,y)}{\Delta{y}} fy′​(x,y)=∂x∂f​=Δy→0lim​Δyf(x,y+Δy)−f(x,y)​

n n n元函数的偏导数

• n n n元函数 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1​,⋯,xn​)关于第 i i i个自变量 x i x_i xi​的偏导数定义为:

• f x i ′ ( x 1 , ⋯ , x n ) f_{x_i}'(x_1,\cdots,x_n) fxi​′​(x1​,⋯,xn​)= ∂ f ∂ x i \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}} ∂xi​∂f​= lim ⁡ Δ x i → 0 f ( x 1 , ⋯ , x i + Δ x i , ⋯ , x n ) − f ( x 1 , ⋯ , x i , ⋯ , x n ) Δ x i \lim\limits_{\Delta{x_i}\to{0}}\frac{f(x_1,\cdots,x_i+\Delta{x_i},\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)}{\Delta{x_i}} Δxi​→0lim​Δxi​f(x1​,⋯,xi​+Δxi​,⋯,xn​)−f(x1​,⋯,xi​,⋯,xn​)​

偏导数和偏导函数的关系

• 偏导函数的概念可知, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 P 0 P_0 P0​处的偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)就是偏导函数 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx​(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处的函数值,即 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)= f x ( x , y ) ∣ x = x 0 y = y 0 f_{x}(x,y)|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}} fx​(x,y)∣x=x0​y=y0​​​= f x ( x , y ) ∣ ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x,y)|_{(x_0,y_0)} fx​(x,y)∣(x0​,y0​)​

偏导数计算技巧

• 由于多元 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_{1},\cdots,x_n) f(x1​,⋯,xn​)函数的偏导数是将被求导的自变量之外的其他变量视为常数,在求某个点 P 0 ( v 1 , v 2 , ⋯ , v n ) P_0(v_1,v_2,\cdots,v_n) P0​(v1​,v2​,⋯,vn​)(其中 v i v_i vi​表示 x i x_i xi​的取值,为常数)处的自变量 x i x_i xi​的偏导数时,可以考虑将 x i x_i xi​以外的变量用具体值代入之后,再求导,即 f x i ( v 1 , ⋯ , v n ) f_{x_i}(v_1,\cdots,v_n) fxi​​(v1​,⋯,vn​)= f x i ( x 1 , ⋯ , x n ) ∣ ( v 1 , ⋯ , v n ) f_{x_i}(x_1,\cdots,x_n)|_{(v_1,\cdots,v_n)} fxi​​(x1​,⋯,xn​)∣(v1​,⋯,vn​)​(1)
• 或者 f x i ( v 1 , ⋯ , v n ) f_{x_i}(v_1,\cdots,v_n) fxi​​(v1​,⋯,vn​)= f x i ( v 1 , ⋯ , x i , ⋯ , v n ) ∣ x i = v i f_{x_i}(v_1,\cdots,x_i,\cdots,v_n)|_{x_i=v_i} fxi​​(v1​,⋯,xi​,⋯,vn​)∣xi​=vi​​(2)
• 使用公式(2)有时会明显简单,特别是当函数 f f f式子复杂时
• 当 n = 2 n=2 n=2时,即二元 x , y x,y x,y情形,公式(2)可以表示为
  • f x ′ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x , y 0 ) ∣ x = x 0 f'_x(x_0,y_0)=\left.f_{x}(x,y_0)\right|_{x=x_0} fx′​(x0​,y0​)=fx​(x,y0​)∣x=x0​​
  • f y ′ ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y ) ∣ y = y 0 f'_y(x_0,y_0)=\left.f_{y}(x_0,y)\right|_{y=y_0} fy′​(x0​,y0​)=fy​(x0​,y)∣y=y0​​

间断点处的偏导数

• 设分段函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x y x 2 + y 2 \frac{xy}{x^2+y^2} x2+y2xy​, ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) (x,y)\neq{(0,0)} (x,y)=(0,0); f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0, ( x , y ) = ( 0 , 0 ) (x,y)=(0,0) (x,y)=(0,0)

• 则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处的导数?

  • 由于点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的间断点,求偏导数应用偏导数的定义:
    • f x ( 0 , 0 ) f_{x}(0,0) fx​(0,0)= lim ⁡ Δ x → 0 f ( 0 + Δ x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) Δ x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(0+\Delta{x},0)-f(0,0)}{\Delta{x}} Δx→0lim​Δxf(0+Δx,0)−f(0,0)​= lim ⁡ Δ x → 0 0 − 0 Δ x \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{0-0}{\Delta{x}} Δx→0lim​Δx0−0​= 0 0 0
    • 同理, f y ( 0 , 0 ) f_{y}(0,0) fy​(0,0)= 0 0 0
  • 容易验证 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处的极限不存在,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处也不连续

多元函数的偏导与连续

• 上述结果表明,即使 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处各个自变量的偏导都存在甚至相等,也推不出该处极限存在,也推不出函数在该处连续
  • 这是因为, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)对各个自变量的偏导数只能说明两个趋近路径(相互垂直)上的极限存在,这推不出所有方向极限存在也就推不出连续
• 而在一元函数中,在某点处可导一定推出连续,也能推出极限存在

偏导数的几何意义

• 偏导数实质上是一元函数的导数
• 而一元函数的导数的几何意义是曲线的切线斜率
  • 切线位于坐标面 x O y xOy xOy中(平行重合关系),导数 f x ( x ) ′ f_{x}(x)' fx​(x)′也等于切线相对于 x x x轴的倾斜角 α \alpha α的正切值 tan ⁡ α \tan{\alpha} tanα
• 所以,偏导数的几何意义也是切线的斜率
  • 对于二元函数, z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),其在 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0​,y0​)处对于 x x x的偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)表示曲线 L 1 : z = f ( x , y ) ; y = y 0 L_1:z=f(x,y);y=y_0 L1​:z=f(x,y);y=y0​在点 P 0 P_0 P0​处的切线 T 1 T_{1} T1​斜率
  • 曲线 L 1 L_1 L1​是平面曲线,由空间的两个曲面方程相交得到,其中曲面 y = y 0 y=y_0 y=y0​是一个平面,因此交线 L 1 L_1 L1​一定是一条平面曲线,并且该曲线 L 1 L_1 L1​和坐标面 x O z xOz xOz平行
  • 切线 T 1 T_1 T1​的倾斜角 α \alpha α为 T 1 T_1 T1​相对 x O y xOy xOy平面上的直线 y = y 0 y=y_0 y=y0​的倾斜角,或者说 T 1 T_1 T1​投影到平面 x O z xOz xOz上的 T 1 ′ T_1' T1′​相对于 x x x轴的倾斜角
• 类似的 f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}(x_0,y_0) fy​(x0​,y0​),表示 L 2 : z = f ( x , y ) ; x = x 0 L_2:z=f(x,y);x=x_0 L2​:z=f(x,y);x=x0​的切线的斜率

小结

• 由偏导数的定义可以知道,偏导数的本质就是一元函数的导数

• 点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处的偏导数 f x ′ ( x 0 , y 0 ) f'_{x}(x_0,y_0) fx′​(x0​,y0​)就是一元函数 ϕ ( x ) = f ( x , y 0 ) \phi(x)=f(x,y_0) ϕ(x)=f(x,y0​)在 x = x 0 x=x_0 x=x0​处的导数,即 f x ′ ( x 0 , y 0 ) f_{x}'(x_0,y_0) fx′​(x0​,y0​)= ϕ ′ ( x 0 ) \phi'(x_0) ϕ′(x0​)

  • f x ′ ( x 0 , y 0 ) f'_{x}(x_0,y_0) fx′​(x0​,y0​)= f f f

• 求自变量 x i x_i xi​的偏导数(或偏导函数)时,只需要将 x i x_i xi​以外的自变量视为常量(可以提前代入到 f f f,将多元函数点 P 0 P_0 P0​处偏导数计算化为一元函数在自变量某处的导数),再按一元函数 ϕ ( x i ) \phi(x_i) ϕ(xi​)的求导法则求导数即可

例

• z = x 3 + 2 x 2 y − y 3 z=x^3+2x^2y-y^3 z=x3+2x2y−y3的在 P 0 ( 1 , 3 ) P_0(1,3) P0​(1,3)对 x x x偏导数

• 使用公式1计算

  • z x z_{x} zx​= 3 x 2 + 2 y 2 x 3x^2+2y2x 3x2+2y2x= 3 x 2 + 4 y x 3x^2+4yx 3x2+4yx
  • z x ∣ ( 1 , 3 ) z_{x}|_{(1,3)} zx​∣(1,3)​= 3 + 12 3+12 3+12=15

• 使用公式2计算

  • z x ∣ ( 1 , 3 ) z_{x}|_{(1,3)} zx​∣(1,3)​= z x ( x , 3 ) ∣ x = 1 z_x(x,3)|_{x=1} zx​(x,3)∣x=1​= ( x 3 + 6 x 2 − 27 ) x = 1 ′ (x^3+6x^2-27)_{x=1}' (x3+6x2−27)x=1′​= 3 x 2 + 12 x ∣ x = 1 3x^2+12x|_{x=1} 3x2+12x∣x=1​= 15 15 15

例

• f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x y 2 3 x 2 + 1 \frac{\sqrt[3]{xy^2}}{x^2+1} x2+13xy2 ​​+ sin ⁡ ( 1 − x ) tan ⁡ x y x 2 + y 2 \sin(1-x)\tan{\frac{xy}{x^2+y^2}} sin(1−x)tanx2+y2xy​,求 f x ( 1 , 1 ) f_x(1,1) fx​(1,1), f y ( 1 , 1 ) f_y(1,1) fy​(1,1)
• f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是一个复杂表达式,考虑使用点处偏导数公式2计算
  • f x ( 1 , 1 ) f_{x}(1,1) fx​(1,1)= f x ( x , 1 ) ∣ x = 1 f_{x}(x,1)|_{x=1} fx​(x,1)∣x=1​= [ ( x 3 x 2 + 1 ) + sin ⁡ ( 1 − x ) tan ⁡ x x 2 + 1 ] x = 1 ′ [(\frac{\sqrt[3]{x}}{x^2+1})+\sin(1-x)\tan{\frac{x}{x^2+1}}]'_{x=1} [(x2+13x ​​)+sin(1−x)tanx2+1x​]x=1′​
  • f y ( 1 , 1 ) f_y(1,1) fy​(1,1)= f y ( 1 , y ) ∣ y = 1 f_y(1,y)|_{y=1} fy​(1,y)∣y=1​= ( y 2 3 2 ) ′ ∣ y = 1 (\frac{\sqrt[3]{y^2}}{2})'|_{y=1} (23y2 ​​)′∣y=1​= 1 3 y − 1 3 ∣ y = 1 \frac{1}{3}y^{-\frac{1}{3}}|_{y=1} 31​y−31​∣y=1​= 1 3 \frac{1}{3} 31​