飞行器坐标转换

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飞行器坐标转换

飞行器坐标转换

• • 坐标系定义
  • 方向余弦矩阵

坐标系定义

本文定义的是右手直角坐标系， x − y − z x-y-z x−y−z轴分别为北-天-东。
从 A A A坐标系到 B B B坐标系是分别绕 y − z − x y-z-x y−z−x轴，即天-东-北旋转 ψ − θ − γ \psi-\theta-\gamma ψ−θ−γ。如果 A A A是惯性系， B B B是机体系，则这三个角度分别为偏航角、俯仰角、横滚角。

方向余弦矩阵

设图1所示惯性系的三个轴上的单位向量分别为 I ⃗ = [ 1 , 0 , 0 ] T 、 J ⃗ = [ 0 , 1 , 0 ] T 、 K ⃗ = [ 0 , 0 , 1 ] T \vec{I} =[1,0,0]^{T}、\vec{J} =[0,1,0]^{T}、\vec{K} =[0,0,1]^{T} I =[1,0,0]T、J =[0,1,0]T、K =[0,0,1]T机体系的三个轴上的单位向量分别为 i ⃗ 、 j ⃗ 、 k ⃗ \vec{i} 、\vec{j} 、\vec{k} i 、j ​、k 。
将 i ⃗ \vec{i} i 在惯性系下表示为 i ⃗ g = [ i x g , i y g , i z g ] T \vec{i}^{g} =[i_{x}^{g},i_{y}^{g},i_{z}^{g}]^{T} i g=[ixg​,iyg​,izg​]T
其中的 i x g i_{x}^{g} ixg​就是向量 i ⃗ \vec{i} i 在向量 I ⃗ \vec{I} I 上的投影长度，可表示为 I ⃗ \vec{I} I 点乘 i ⃗ \vec{i} i 。
i x g = c o s ( I ⃗ , i ⃗ ) = ∣ I ⃗ ∣ ∣ i ⃗ ∣ c o s ( I ⃗ , i ⃗ ) = I ⃗ ⋅ i ⃗ i_{x}^{g} = cos(\vec{I},\vec{i}) =|\vec{I}||\vec{i}|cos(\vec{I},\vec{i}) =\vec{I}\cdot\vec{i} ixg​=cos(I ,i )=∣I ∣∣i ∣cos(I ,i )=I ⋅i
同理可以得出 i ⃗ g = [ I ⃗ ⋅ i ⃗ , J ⃗ ⋅ i ⃗ , K ⃗ ⋅ i ⃗ ] T \vec{i}^{g} =[\vec{I}\cdot\vec{i},\vec{J}\cdot\vec{i},\vec{K}\cdot\vec{i}]^{T} i g=[I ⋅i ,J ⋅i ,K ⋅i ]T
可见 i ⃗ \vec{i} i 在惯性系下的坐标就是向量 i ⃗ \vec{i} i 点乘惯性系的三个轴的基准向量。
同理可以推导出 j ⃗ 、 k ⃗ \vec{j}、\vec{k} j ​、k 在惯性系下的坐标，因为 i ⃗ 、 j ⃗ 、 k ⃗ \vec{i}、\vec{j}、\vec{k} i 、j ​、k 和 I ⃗ 、 J ⃗ 、 K ⃗ \vec{I}、\vec{J}、\vec{K} I 、J 、K 都是单位向量，所以方向余弦矩阵可表示如下：
[ i ⃗ g , j ⃗ g , k ⃗ g ] = [ I ⃗ ⋅ i ⃗ I ⃗ ⋅ j ⃗ I ⃗ ⋅ k ⃗ J ⃗ ⋅ i ⃗ J ⃗ ⋅ j ⃗ J ⃗ ⋅ k ⃗ K ⃗ ⋅ i ⃗ K ⃗ ⋅ j ⃗ K ⃗ ⋅ k ⃗ ] = [ cos ⁡ ( I ⃗ , i ⃗ ) c o s ( I ⃗ , j ⃗ ) c o s ( I ⃗ , k ⃗ ) cos ⁡ ( J ⃗ , i ⃗ ) c o s ( J ⃗ , j ⃗ ) c o s ( J ⃗ , k ⃗ ) cos ⁡ ( K ⃗ , i ⃗ ) c o s ( K ⃗ , j ⃗ ) c o s ( K ⃗ , k ⃗ ) ] [\vec{i}^{g},\vec{j}^{g},\vec{k}^{g} ]= \begin{bmatrix} \vec{I}\cdot\vec{i} & \vec{I}\cdot\vec{j} & \vec{I}\cdot\vec{k} \\ \vec{J}\cdot\vec{i} & \vec{J}\cdot\vec{j} & \vec{J}\cdot\vec{k} \\ \vec{K}\cdot\vec{i} & \vec{K}\cdot\vec{j} & \vec{K}\cdot\vec{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\vec{I},\vec{i}) & cos(\vec{I},\vec{j}) & cos(\vec{I},\vec{k}) \\ \cos(\vec{J},\vec{i}) & cos(\vec{J},\vec{j}) & cos(\vec{J},\vec{k}) \\ \cos(\vec{K},\vec{i}) & cos(\vec{K},\vec{j}) & cos(\vec{K},\vec{k}) \\ \end{bmatrix} [i g,j ​g,k g]= ​I ⋅i J ⋅i K ⋅i ​I ⋅j ​J ⋅j ​K ⋅j ​​I ⋅k J ⋅k K ⋅k ​ ​= ​cos(I ,i )cos(J ,i )cos(K ,i )​cos(I ,j ​)cos(J ,j ​)cos(K ,j ​)​cos(I ,k )cos(J ,k )cos(K ,k )​ ​
所以，方向余弦矩阵的第一列就是机体系的 i ⃗ \vec{i} i 向量（ x x x轴）在惯性系下的坐标，同理， y y y轴和 z z z轴就是第二列和第三列。

第一行呢？就是惯性系的的 I ⃗ \vec{I} I 向量（ x x x轴）在机体坐标系下的坐标，同理， y y y轴和 z z z轴就是第二行和第三行。

通过这种方式我们可以轻松找出某一条轴的姿态坐标，非常方便。

因此我们可以理解为旋转矩阵和方向余弦矩阵是等价的，二者从不同的角度出发，得出了相同的姿态表示方法。