雷达测速公式推导

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雷达测速公式推导

雷达测速公式推导

假某雷达系统参数为：载频 f r f{r} fr,调频斜率为 μ \mu μ，则发射信号记为
s t ( t ) = c o s ( 2 π f r t + π μ t 2 ) ( 1 ) s_{t}(t)=cos(2\pi f_{r}t+\pi \mu t^{2}) (1) st​(t)=cos(2πfr​t+πμt2)(1)
回波信号可记为
s r ( t ) = c o s ( 2 π f r ( t − τ ) + π μ ( t − τ ) 2 ) ( 2 ) s_{r}(t)=cos(2\pi f_{r}(t-\tau)+\pi\mu(t-\tau)^{2})(2) sr​(t)=cos(2πfr​(t−τ)+πμ(t−τ)2)(2)
其中， τ \tau τ为目标产生的延时。
对上式做混频，将载频从射频混至中频，可得
s r ( t ) = c o s ( 2 π f 0 t + π μ ( t − τ ) 2 − 2 π f r τ ) ( 3 ) s_{r}(t)=cos(2\pi f_{0}t+\pi \mu(t-\tau)^2-2\pi f_{r}\tau)(3) sr​(t)=cos(2πf0​t+πμ(t−τ)2−2πfr​τ)(3)
其中， f 0 f_{0} f0​代表中频。
最后，对上式做进一步混频，将频率由中频降至零中频，并作IQ变换可得到
s r ( t ) = e j π μ ( t − τ ) 2 − j 2 π f r τ ( 4 ) s_{r}(t)=e^{j\pi \mu (t-\tau)^2-j2\pi f{r}\tau}(4) sr​(t)=ejπμ(t−τ)2−j2πfrτ(4)
将时延 τ \tau τ做进一步展开得到
τ = 2 ( R − n ∗ T p v ) c ( 5 ) \tau = \frac{2(R-n*T_{p}v)}{c}(5) τ=c2(R−n∗Tp​v)​(5)
其中， R R R为目标与雷达的径向距离， T p T_{p} Tp​为雷达脉冲重复周期， v v v为目标多普勒速度， n n n为脉冲计数。在这里，我们假设一个重复周期内目标在径向距离上近似不移动。
对时间 t t t做离散化，令 t = l T s , 0 ≤ l ≤ N , T s 为采样间隔 t=lT_{s},0\le l \le N,T_{s}为采样间隔 t=lTs​,0≤l≤N,Ts​为采样间隔。将式(5)带入式(4)，并作展开可得到
e j π μ ( l T s ) 2 e − j 2 π μ l T s 2 ( R − n T p v ) c e j π μ 4 ( R − n T p v ) 2 c 2 e − j 2 π f r 2 ( R − n T p v ) c ( 6 ) e^{j\pi\mu(lTs)^{2}}e^{-j2\pi \mu lT_{s}\frac{2(R-nT_{p}v)}{c}}e^{j\pi\mu\frac{4(R-nT_{p}v)^{2}}{c^2}}e^{-j2\pi f_{r}\frac{2(R-nT{p}v)}{c}}(6) ejπμ(lTs)2e−j2πμlTs​c2(R−nTp​v)​ejπμc24(R−nTp​v)2​e−j2πfr​c2(R−nTpv)​(6)
从慢时间的维度看，不同的pulse只会影响
e − j 2 π μ l T s 2 ( R − n T p v ) c e j π μ 4 ( R − n T p v ) 2 c 2 e − j 2 π f r 2 ( R − n T p v ) c ( 7 ) e^{-j2\pi \mu lT_{s}\frac{2(R-nT_{p}v)}{c}}e^{j\pi\mu\frac{4(R-nT_{p}v)^{2}}{c^2}}e^{-j2\pi f_{r}\frac{2(R-nT{p}v)}{c}}(7) e−j2πμlTs​c2(R−nTp​v)​ejπμc24(R−nTp​v)2​e−j2πfr​c2(R−nTpv)​(7)
而
e − j 2 π μ l T s 2 ( R − n T p v ) c e j π μ 4 ( R − n T p v ) 2 c 2 ( 8 ) e^{-j2\pi \mu lT_{s}\frac{2(R-nT_{p}v)}{c}}e^{j\pi\mu\frac{4(R-nT_{p}v)^{2}}{c^2}}(8) e−j2πμlTs​c2(R−nTp​v)​ejπμc24(R−nTp​v)2​(8)
分量可忽略不计，我们仅关注最后一项
e − j 2 π f r 2 ( R − n T p v ) c ( 9 ) e^{-j2\pi f_{r}\frac{2(R-nT{p}v)}{c}}(9) e−j2πfr​c2(R−nTpv)​(9)
上式可分解为
e − j 2 π f r 2 ( R − n T p v ) c = e − j 2 π f r 2 R c e j 2 π f r 2 n T p v c ( 10 ) e^{-j2\pi f_{r}\frac{2(R-nT{p}v)}{c}} = e^{-j2\pi f_{r}\frac{2R}{c}}e^{j2\pi f{r}\frac{2nT_{p}v}{c}}(10) e−j2πfr​c2(R−nTpv)​=e−j2πfr​c2R​ej2πfrc2nTp​v​(10)
其中，分解后的第一项为常数项。第二项为一单频信号，该单频信号的采样频率为 1 T p \frac{1}{T_{p}} Tp​1​。将第二项整理后可得
e j 2 π 2 f r v c ( n T p ) ( 11 ) e^{j2\pi\frac{2f_{r}v}{c}(nT{p})}(11) ej2πc2fr​v​(nTp)(11)
记目标多普勒频率为 f d f_{d} fd​，则
f d = 2 f r v c ( 12 ) f_{d}=\frac{2f_{r}v}{c}(12) fd​=c2fr​v​(12)
证毕