微积分第一章函数与极限

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微积分第一章函数与极限

1.正反三角函数的导数

2.常用等价无穷小

3.正反三角函数转化：

1.secx=1/cosx

2.cecx=1/sinx

3.cotx=1/tanx

4.基本数学思想：

        1.有限式子与无限式子：在面对无限个式子运算时，大体思路为两个方面，第一个为放缩，第二个为寻找相邻项间的规律，由于式子为无限个，需要注意无穷小的相加公式不适用。

        2.单元式子与多元式子：多元式子指形似多项式的一组计算式 ，此时注意的思路为合并同类项或者换元。

        3.非绝对值式子与绝对值式子：绝对值式子需要进行分类讨论，但在极限运算时需要尽量避免分类讨论，所以当处理绝对值时，需要进行配方运算或者在求极限时将x的绝对值限定范围，研究x在某去心邻域内的极限，也要考虑三角不等式。

        4.不带平方的式子与带平方的式子：在处理带平方的式子时，·首先探索是否可以通过平方差公式化简式子，但不需要强行加减数以化简式子，然后规定x的范围，带入已经化简过的相乘的几个x的式子，剩下一个，再进行极限运算。

        5.没有根号的式子和有根号的式子：在看到带根号的式子时要在运算中将根号消去，第一种方法为使用平方差公式进行去根号操作，第二种方法为使用放缩等手段在根号中配方再开出来。

        6.分子分母都有x需要规定x范围，再化简一侧，然后按普通式子计算，列式化简注意绝对值不等式。

5.基本题型总结：

        1.通过定义证明数列极限存在：方法：列带极限的绝对值不等式，化简原式至出现n与任意小整数的式子，用N代替任意小整数的式子，然后列式求得。

        2.通过定义证明函数极限存在：方法类似上式，只是用x的表达式替代n的表达式。

        3.证明函数没有极限：取两个趋近于x趋近值的数列代入函数式证明它们的极限不相等，主要对象为三角函数，此时注意数列带常数会更好算。

        4.通过定义证明函数无穷：与1，2类似只是大于某个无限大整数M。

        5.通过夹逼准则证明极限。

        6.通过单调有界收敛准则证明极限：需要使用数学归纳法证明单调性，通过观察得出有界性。

        7.通过重要极限：当x趋近于0时，sinx/x=1,（1+1/x）的x次方等于e来求极限。

        8.运用等价无穷小知识求极限或者求同阶无穷小。

        9.通过除某个无穷小来计算无穷小的阶。

        10.函数连续性的运算和求间断点。