06 逆矩阵、列空间与零空间

空间与零空间"/>

06 逆矩阵、列空间与零空间

逆矩阵、列空间与零空间

• 多元一次方程组的矩阵形式
• 线性变换（矩阵）的逆
• 线性变换（矩阵）的秩
• 矩阵的列空间
• 矩阵的零空间

多元一次方程组的矩阵形式

对于多元一次方程组：
2 x + 2 y = − 4 1 x + 3 y = − 1 2x+2y=-4 \\ 1x+3y=-1 2x+2y=−41x+3y=−1
可以将其写成矩阵形式：
A x ⃗ = v ⃗ A\vec{x} = \vec{v} Ax =v
这个方程的解依赖于矩阵A代表的变换，是将空间挤压到一条线或一个点等低维空间，还是保持像初始状态一样的完整二维空间。
即：A的行列式为0，或不为0。

线性变换（矩阵）的逆

如果A的行列式不为0，此时空间并未被挤压为零面积的区域。在这种情况下，有且仅有一个向量在变换后和 v ⃗ \vec{v} v 重合。并且，可以通过逆向变换来找到这个向量。即解得向量 x ⃗ \vec{x} x 。

当逆向进行变换时，实际上对应了另一个线性变换，通常被称为“A的逆”，记为 A − 1 A^{-1} A−1。比如：如果A是逆时针旋转90°，那 A − 1 A^{-1} A−1就是顺时针旋转90°。总的来说， A − 1 A^{-1} A−1是满足以下性质的唯一变换：首先应用A代表的变换，再应用 A − 1 A^{-1} A−1代表的变换，向量会回到原始状态；两个变换相继作用，在代数上体现为矩阵乘法 A − 1 A A^{-1}A A−1A。所以， A − 1 A^{-1} A−1的核心性质就是 A − 1 A^{-1} A−1乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵，这个“什么都不做”的变换被称为“恒等变换”。
A − 1 A = [ 1 0 0 1 ] A^{-1}A=\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \\ \ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} A−1A=[ 1 0​01​]
求得 A − 1 A^{-1} A−1后，就可以这样解方程
A − 1 A x ⃗ = A − 1 v ⃗ A^{-1}A\vec{x} = A^{-1}\vec{v} A−1Ax =A−1v

如果A的行列式为0，此时与这个方程相关的变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换，因为你不能将一条直线“解压缩”为一个平面。

线性变换（矩阵）的秩

除了零行列式之外，还有个特定术语来描述它们，秩。
对于一个3×3的矩阵，当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，我们称这个变换的秩为1；如果变换后的向量落在某个二维平面上，我们称这个变换的秩为2。

所以说，“秩”代表着变换后空间的维数。

对于2×2的矩阵，它的最大秩为2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间，并且矩阵的行列式不为零。但对于3×3的矩阵，秩为2，意味着空间被压缩了。

矩阵的列空间

不管是一条直线、一个平面，还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合，被称为矩阵的列空间。

换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。因为矩阵的每个列代表一个基向量。所以，更精确的秩的定义是列空间的维数。当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，我们称之为“满秩”。零向量一定在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身。但对于一个非满秩变换来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，也就是说会有一系列向量在变换后称为零向量。

矩阵的零空间

如果一个二维线性变换将空间压缩到一条直线上，那么沿着不同方向直线上的所有向量就被压缩到原点。

如果一个三维线性变换将空间压缩到一个平面上，那么同样也有一整条直线上的向量在变换后落在原点。

如果一个三维线性变换将空间压缩到一个条直线上，那么就有一整个平面上的向量在变换后落在原点。

变换后落在原点的向量的集合，被称为矩阵的“零空间”或“核”。