范数

范数

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。

空间范数

有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：

• 对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数。
• 有限维线性空间的所有范数都等价。
• 实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。
• 有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。

常用范数
最常用的范数就是p-范数。若 x = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] T x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T x=[x1​,x2​,⋯,xn​]T，那么
∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∣ x 1 ∣ p + ∣ x 2 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p ) 1 p ||x||_p=(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p) ^{\frac{1}{p}} ∣∣x∣∣p​=(∣x1​∣p+∣x2​∣p+⋯+∣xn​∣p)p1​
可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski）不等式。
当p取 1 , 2 , ∞ 1,2,\infty 1,2,∞的时候分别是以下几种最简单的情形：
1-范数： ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ x n ∣ ||x||_1=|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n| ∣∣x∣∣1​=∣x1​∣+∣x2​∣+⋯+∣xn​∣
2-范数： ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( ∣ x 1 ∣ 2 + ∣ x 2 ∣ 2 + ⋯ + ∣ x n ∣ 2 ) 1 2 ||x||_2=(|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2)^{\frac{1}{2}} ∣∣x∣∣2​=(∣x1​∣2+∣x2​∣2+⋯+∣xn​∣2)21​
∞-范数： ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x ( ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , ⋯ , ∣ x n ∣ ) ||x||_{\infty}=max(|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_n|) ∣∣x∣∣∞​=max(∣x1​∣,∣x2​∣,⋯,∣xn​∣)
其中2-范数就是通常意义下的距离。较为常用。

参考内容： 范数_百度百科 (baidu)