代码随想录第四十五天

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代码随想录第四十五天

1、爬楼梯改编

之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶，问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了
和昨天的题目动态规划：leetcode 377：组合总和 Ⅳ 基本就是一道题了

动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法

2、确定递推公式
在 leetcode 494：目标和 、 leetcode 518：零钱兑换II 、leetcode 377：组合总和 Ⅳ 中讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]，那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3、dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了
下标非0的dp[i] 初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4、确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样，所以需将target放在外循环，将nums放在内循环
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历

5、举例来推导dp数组
和 leetcode 377：组合总和 Ⅳ 几乎是一样的

代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}return dp[n];}
};

注意 i, j 都是从1 开始

时间复杂度: O(nm)
空间复杂度: O(n)

2、求最小个数，循环顺序无影响

2.1 leetcode 322：零钱兑换

第一遍代码，也不知道应该用 排列 还是 组合
因为递归公式里面，求更小值，初值取INT_MAX，就要避免在INT_MAX上再加数

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);//每种金额的最少硬币个数//求排列数，感觉组合数也行dp[0] = 0;//凑成他自己面额的最少要一个硬币for(int i = 0; i <= amount; i++) {for(int j = 0; j < coins.size(); j++) {if(i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] != INT_MAX) {//避免在INT_MAX上加一dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);}}}if(dp[amount] == INT_MAX) {return -1;}return dp[amount];}
};

代码随想录思路
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题

动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2、确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i] 即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]），所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3、dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖，所以下标非0的元素都是应该是最大值

代码如下：

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

4、确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数，所以本题并不强调集合是组合还是排列

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包 或者 外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的，本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

5、举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

代码随想录C++ 代码如下：
采用coins放在外循环，target在内循环的方式
遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序

// 版本一
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
空间复杂度: O(amount)

对于遍历方式为遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，见第一遍代码

2.2 leetcode 279：完全平方数

第一遍代码：
记录和为 n 的完全平方数的最少数量，求排列还是组合无所谓
dp[0] = 0;自己就是完全平方数的 肯定dp是1（dp[i - j * j] == 0 时，dp[0] + 1）

对于内层循环里的 <= n / 2
这里考虑到其实每个数的分解的加数 最大整数自乘的 那个整数 最大就是n / 2
但是因为n / 2是向下取整，所以当数为1的时候，<= 1/2直接把1也排除了，所以应该是n / 2 + 1

像代码随想录那样让 i * i <= n就不用整那么复杂了

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);//记录和为 n 的完全平方数的最少数量，求排列还是组合无所谓dp[0] = 0;//自己就是完全平方数的 肯定dp是1for(int i = 0; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n / 2 + 1; j++) {/*这里考虑到其实每个数的分解的加数 最大整数自乘的 那个整数 最大就是n / 2但是因为n / 2是向下取整，所以当数为1的时候，<= 1/2直接把1也排除了，所以应该是n / 2 + 1*/if(i - j * j >= 0) {dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);}}}return dp[n];}
};

代码随想录思路：
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品
就是个完全背包

动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2、确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3、dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式

非0下标的dp[j] 应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

4、确定遍历顺序
这是完全背包，如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

在leetcode 322：零钱兑换 中就探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数
所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的

5、举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：

第一遍代码是外层遍历背包，内层遍历物品；给出代码随想录给出的先遍历物品，再遍历背包的代码：

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};