难点(一)函数与极限"/>
高等数学教材啃书汇总难点(一)函数与极限
教材为理工科标配的同济大学第七版,本系列为一轮啃书,将必会的全部重难点悉数总结——尤其是各种晦涩的理论证明部分,考研数学一的选手,想冲击高分的话必须掌握。对于考研证明题部分,熟练掌握定义是必不可少的底层基础~
1.函数的有界性(熟记定义)
2.数列极限的定义(熟记定义并学会证明)
3.收敛数列的性质(会证明)
4.数列极限的定义(熟记定义并学会证明)
5.左右极限的定义(熟记定义)
6.趋于无穷大的极限(熟记定义并学会证明)
7.函数极限的性质(重在理解)
8.无穷小的定义,及存在的充要条件(熟记定义并学会证明)
9.无穷大的定义(熟记定义)
10.无穷小与无穷大的关系(会证明)
11.极限运算法则的相关证明(会证明)
12.复合函数的极限运算法则(会证明)
13.夹逼定理(熟记定义并学会证明)
14.重要极限一:学会用夹逼定理推导
15.极限存在准则(熟记)
16.重要极限二(熟记)
17.柯西极限存在准则(熟记定义并学会证明)
18.无穷小的比较(熟记定义并学会证明)
19.函数的连续性(熟记定义并学会证明)
20.左右连续(熟记定义并学会证明)
21.间断点(熟记定义,学会寻找)
22.连续性的四则运算,及复合函数的连续性(熟记)
23.有界性与最大值最小值定理(熟记)
24.零点定理(熟记)
25.介值定理(熟记)
1.有界性的定义是,再某一区间上,存在一个最大值or最小值,区间上任意一点的函数值均小于or大于这个值~
2.有关数列极限的定义,N用来刻画一个足够大的项数——即大于N的项都无限靠拢;而伊普西龙则是刻画一个充分小的量,即数列元素的值与所谓的极值,差为0~
3.收敛数列的极限唯一,收敛的数列一定有界,收敛数列的任一子数列收敛于同一个极限~;
此外,收敛数列具有保号性:即N项后的所有数列元素值,正负性与极限值保持一致~
4.函数极限与数列极限的定义异曲同工,引入的德尔塔相当于N的意义:刻画与当前项数充分接近~
5.左右极限的定义是——从不同的两侧逼近目标项数~
6.趋于无穷大的极限不重要,看看就行
7.与数列相似,函数极限具有唯一性、局部有界性和局部保号性等性质~
8.无穷小千万不要想复杂了——即为在某个逼近过程中极限值为0~
9.无穷大同理,极限值趋于无穷10.无穷大取倒数就是无穷小,反之亦然
11.几个极限的运算法则需要特别说明一下:
- 有限个无穷小的和是无穷小
- 有界函数乘以无穷小的积为无穷小
- 和的极限等于极限的和,积的极限等于极限的积
- 此外,极限式中的非0项可以优先计算出来~
12. 计算复合函数的极限,可以先计算内部再计算外部,但是一定要注意满足极限的定义
13.夹逼定理本质就是放缩,找一个大于目标式和小于目标式的式子,且该两个式子极限值相等,则处于中间的目标式极限也是如此~
14+16:两个重要极限,必须记牢
15.极限存在准则:单调有界函数必有极限
17.柯西极限存在定理:用于判断数列是否有极限存在的充分必要条件,只需要记牢几何意义:对于任意小的数伊普西龙,在数轴上一切大于下标N的点,彼此之间的距离小于伊普西龙~
18.对于无穷小的比较,不要和x的趋向值混淆:即,无论x是趋于0还是无穷,如果a/b=0,则a是b的高阶无穷小;如果a/b=无穷,则a是b的低阶无穷小。需要注意的是,高阶与低阶是相对于一个变化过程中的,比如x趋于无穷时,x平方是x立方的高阶无穷小,而趋于0时,则有恰好反之!
19.函数连续性,只需要记住,该点处极限值等于函数值,则称函数连续~(在这一点上)
20.左右连续类别左右极限,从两侧逼近!
21.间断点,通常出现在如下3个情况:
- 无定义的点
- 有定义但极限不存在
- 极限存在但是极限值与连续值不同~
22——27:连续函数的一些性质,看看就行
28.零点定理:闭区间上连续且端点处函数值异号,则区间内至少有一点处函数值为0
29.介值定理:同上,只不过更一般,假设端点处的函数值分别是A、B,则区间上一定有一点的函数值等于A~B之间的任何一个数~
更多推荐
高等数学教材啃书汇总难点(一)函数与极限
发布评论