高等数学教材啃书汇总难点（一）函数与极限

难点（一）函数与极限"/>

高等数学教材啃书汇总难点（一）函数与极限

教材为理工科标配的同济大学第七版，本系列为一轮啃书，将必会的全部重难点悉数总结——尤其是各种晦涩的理论证明部分，考研数学一的选手，想冲击高分的话必须掌握。对于考研证明题部分，熟练掌握定义是必不可少的底层基础~

1.函数的有界性（熟记定义）

2.数列极限的定义（熟记定义并学会证明）

3.收敛数列的性质（会证明）

4.数列极限的定义（熟记定义并学会证明）

5.左右极限的定义（熟记定义）

6.趋于无穷大的极限（熟记定义并学会证明）

7.函数极限的性质（重在理解）

8.无穷小的定义，及存在的充要条件（熟记定义并学会证明）

9.无穷大的定义（熟记定义）

10.无穷小与无穷大的关系（会证明）

11.极限运算法则的相关证明（会证明）

12.复合函数的极限运算法则（会证明）

13.夹逼定理（熟记定义并学会证明）

14.重要极限一：学会用夹逼定理推导

15.极限存在准则（熟记）

16.重要极限二（熟记）

17.柯西极限存在准则（熟记定义并学会证明）

18.无穷小的比较（熟记定义并学会证明）

19.函数的连续性（熟记定义并学会证明）

20.左右连续（熟记定义并学会证明）

21.间断点（熟记定义，学会寻找）

22.连续性的四则运算，及复合函数的连续性（熟记）

23.有界性与最大值最小值定理（熟记）

24.零点定理（熟记）

25.介值定理（熟记）

1.有界性的定义是，再某一区间上，存在一个最大值or最小值，区间上任意一点的函数值均小于or大于这个值~

2.有关数列极限的定义，N用来刻画一个足够大的项数——即大于N的项都无限靠拢；而伊普西龙则是刻画一个充分小的量，即数列元素的值与所谓的极值，差为0~

3.收敛数列的极限唯一，收敛的数列一定有界，收敛数列的任一子数列收敛于同一个极限~；

此外，收敛数列具有保号性：即N项后的所有数列元素值，正负性与极限值保持一致~

4.函数极限与数列极限的定义异曲同工，引入的德尔塔相当于N的意义：刻画与当前项数充分接近~

5.左右极限的定义是——从不同的两侧逼近目标项数~

6.趋于无穷大的极限不重要，看看就行

7.与数列相似，函数极限具有唯一性、局部有界性和局部保号性等性质~

8.无穷小千万不要想复杂了——即为在某个逼近过程中极限值为0~
9.无穷大同理，极限值趋于无穷

10.无穷大取倒数就是无穷小，反之亦然

11.几个极限的运算法则需要特别说明一下：

• 有限个无穷小的和是无穷小
• 有界函数乘以无穷小的积为无穷小
• 和的极限等于极限的和，积的极限等于极限的积
• 此外，极限式中的非0项可以优先计算出来~

12. 计算复合函数的极限，可以先计算内部再计算外部，但是一定要注意满足极限的定义

13.夹逼定理本质就是放缩，找一个大于目标式和小于目标式的式子，且该两个式子极限值相等，则处于中间的目标式极限也是如此~

14+16：两个重要极限，必须记牢

15.极限存在准则：单调有界函数必有极限

17.柯西极限存在定理：用于判断数列是否有极限存在的充分必要条件，只需要记牢几何意义：对于任意小的数伊普西龙，在数轴上一切大于下标N的点，彼此之间的距离小于伊普西龙~

18.对于无穷小的比较，不要和x的趋向值混淆：即，无论x是趋于0还是无穷，如果a/b=0，则a是b的高阶无穷小；如果a/b=无穷，则a是b的低阶无穷小。需要注意的是，高阶与低阶是相对于一个变化过程中的，比如x趋于无穷时，x平方是x立方的高阶无穷小，而趋于0时，则有恰好反之！

19.函数连续性，只需要记住，该点处极限值等于函数值，则称函数连续~（在这一点上）

20.左右连续类别左右极限，从两侧逼近！

21.间断点，通常出现在如下3个情况：

• 无定义的点
• 有定义但极限不存在
• 极限存在但是极限值与连续值不同~

22——27：连续函数的一些性质，看看就行

28.零点定理：闭区间上连续且端点处函数值异号，则区间内至少有一点处函数值为0

29.介值定理：同上，只不过更一般，假设端点处的函数值分别是A、B，则区间上一定有一点的函数值等于A~B之间的任何一个数~