NOIP2023模拟13联测34 competition

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NOIP2023模拟13联测34 competition

题目大意

给定一个有 n n n个选手的团队去参加比赛，比赛有 m m m道题，每个选手可以 100 % 100\% 100%将第 l i ∼ r i l_i \sim r_i li​∼ri​道题做出来。

比赛时，团队会随机派出编号连续的人去做题，得分为做出来题目的总数。

求该团队参加比赛的期望得分。

答案对 1 e 9 + 7 1e9+7 1e9+7取模。

题目思路

我们先考虑暴力做法，先 n 2 n^2 n2枚举派出那些选手去参加比赛，然后 log ⁡ n \log n logn算出他们一共能做出多少道题，最后答案就是所有可能做出来的题目数量乘上 n ∗ ( n + 1 ) 2 \frac{n*(n+1)}{2} 2n∗(n+1)​在模意义下的逆元即可。

现在考虑正解。

我们可以将枚举区间改为计算每道题对答案的贡献。

一开始假设每道题都会被包含在任意区间，然后顺序枚举 i i i，对于 l i ∼ r i l_i \sim r_i li​∼ri​中的每个 j j j，因为 ( l s t j , i ) (lst_j,i) (lstj​,i)中的区间不包含 j j j，所以 j j j不会对这个区间中的任意区间做贡献，答案就应该减去 ( i − l s t j ) ∗ ( i − l s t j − 1 ) 2 \frac{(i-lst_j)*(i-lst_j-1)}{2} 2(i−lstj​)∗(i−lstj​−1)​。

考虑怎么维护 l s t j lst_j lstj​，一开始 l s t j lst_j lstj​全为 0 0 0，每次操作后都会将 l s t lst lst数组中 l i ∼ r i l_i \sim r_i li​∼ri​赋值为 i i i，所以 l s t lst lst可以用柯朵莉树维护。

最后在乘上方案数的逆元即可。

具体实现参考代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,ans=0;
const long long mod=1e9+7,inv=5e8+4;
struct node
{long long l,r;mutable long long v;node(long long L,long long R=-1,long long V=0){l=L,r=R,v=V;}bool operator<(const node &a) const{return l<a.l;}
};
set<node> a;
long long read()
{long long s=0,w=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+(ch-'0'),ch=getchar();return s*w;
}
auto split(long long pos)
{auto it=a.lower_bound(pos);if(it!=a.end()&&it->l==pos)return it;it--;long long l=it->l;long long r=it->r;long long v=it->v;a.erase(it);a.insert(node(l,pos-1,v));return a.insert(node(pos,r,v)).first;
}
void emerge(long long l,long long r,long long k)
{auto itr=split(r+1);auto itl=split(l);for(auto it=itl;it!=itr;++it)ans=(ans-(it->r-it->l+1)*(k-it->v)%mod*(k-it->v-1)%mod*inv%mod+mod)%mod;a.erase(itl,itr);a.insert(node(l,r,k));return ;
}
long long ksm(long long a,long long b)
{long long sum=1;while(b){if(b&1)sum=sum*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return sum;
}
int main()
{freopen("competition.in","r",stdin);freopen("competition.out","w",stdout);n=read(),m=read();a.insert(node(1,m+10,0));ans=m%mod*n%mod*(n+1)%mod*inv%mod;for(int i=1;i<=n;++i){long long l=read(),r=read();emerge(l,r,i);}emerge(1,m,n+1);ans=ans*ksm(n*(n+1)%mod*inv%mod,mod-2)%mod;printf("%lld",ans);return 0;
}