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指数移动平均

指数移动平均（Exponential Moving Average，EMA）是一种加权移动平均，根据数据点的新旧程度分配不同的权重和重要性，即其权重随着时间的推移而指数递减。

定义

假设我们有 t t t 个数据： [ X 1 , X 2 , . . . , X t ] [X_1, X_2, ..., X_t] [X1​,X2​,...,Xt​]

普通的平均数：
X ˉ = 1 n ∑ i = 1 t X i \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{t}{X_i} Xˉ=n1​i=1∑t​Xi​

指数移动平均数的计算公式如下：
E M A n ( t ) = E M A n ( t − 1 ) ∗ ( 1 − α ) + X t ∗ α EMA_n(t) = EMA_n(t-1) * (1 - α) + X_t * α EMAn​(t)=EMAn​(t−1)∗(1−α)+Xt​∗α
其中：

• E M A n ( t ) EMA_n(t) EMAn​(t) 表示第 t t t 个数据点的 n n n 日指数移动平均值
• E M A n ( t − 1 ) EMA_n(t-1) EMAn​(t−1) 表示第 t − 1 t-1 t−1 个数据点的 n n n 日指数移动平均值
• X t X_t Xt​ 表示第 t t t 个数据点的值
• α α α 表示指数平滑因子，取值范围为 0 到 1，通常取值为 0.1 到 0.3

证明

根据定义，我们可以得到以下等式：
E M A n ( t ) = E M A n ( t − 1 ) ∗ ( 1 − α ) + X t ∗ α EMA_n(t) = EMA_n(t-1) * (1 - α) + X_t * α EMAn​(t)=EMAn​(t−1)∗(1−α)+Xt​∗α

将 E M A n ( t − 1 ) EMA_n(t-1) EMAn​(t−1) 用上述等式代替，得到：
E M A n ( t ) = ( E M A n ( t − 2 ) ∗ ( 1 − α ) 2 + X t − 1 ∗ ( 1 − α ) ) ∗ ( 1 − α ) + X t ∗ α EMA_n(t) = (EMA_n(t-2) * (1 - α)^2 + X_{t-1} * (1 - α)) * (1 - α) + X_t * α EMAn​(t)=(EMAn​(t−2)∗(1−α)2+Xt−1​∗(1−α))∗(1−α)+Xt​∗α

重复上述操作，可以得到：
E M A n ( t ) = ( X 0 ∗ α n + X 1 ∗ α n − 1 + . . . + X t − 1 ∗ α + X t ) / ( α n + α n − 1 + . . . + α + 1 ) EMA_n(t) = (X_0 * α^n + X_1 * α^{n-1} + ... + X_{t-1} * α + X_t) / (α^n + α^{n-1} + ... + α + 1) EMAn​(t)=(X0​∗αn+X1​∗αn−1+...+Xt−1​∗α+Xt​)/(αn+αn−1+...+α+1)

将 α α α 等于 1 减去 β β β 代入，得到：
E M A n ( t ) = ( X 0 ∗ β n + X 1 ∗ β n − 1 + . . . + X t − 1 ∗ β + X t ) / ( β n + β n − 1 + . . . + β + 1 ) EMA_n(t) = (X_0 * β^n + X_1 * β^{n-1} + ... + X_{t-1} * β + X_t) / (β^n + β^{n-1} + ... + β + 1) EMAn​(t)=(X0​∗βn+X1​∗βn−1+...+Xt−1​∗β+Xt​)/(βn+βn−1+...+β+1)

因此，指数移动平均线可以表示为：
E M A n ( t ) = ∑ i = 0 t − 1 X i β t − i − 1 ∑ i = 0 n − 1 β i EMA_n(t) = \frac{\sum_{i=0}^{t-1} X_i \beta^{t-i-1}}{\sum_{i=0}^{n-1} \beta^{i}} EMAn​(t)=∑i=0n−1​βi∑i=0t−1​Xi​βt−i−1​
其中：

• β β β 表示指数平滑因子，取值范围为 0 到 1，通常取值为 0.1 到 0.3

特点

指数移动平均线具有以下特点：

• 越近期的数据加权影响力越重，但较旧的数据也给予一定的加权值。
• 指数移动平均线的计算公式是一个递归公式，因此可以很容易地计算出任意长度的指数移动平均线。
• 指数移动平均线可以用于识别趋势、判断支撑和阻力水平、以及预测未来价格走势。

应用

指数移动平均线在技术分析中有着广泛的应用。它可以用于识别趋势、判断支撑和阻力水平、以及预测未来价格走势。

• 趋势识别

指数移动平均线可以用于识别趋势。如果短期指数移动平均线穿越长期指数移动平均线，则表明趋势发生了变化。

• 支撑和阻力水平

指数移动平均线可以用于识别支撑和阻力水平。如果价格在指数移动平均线附近波动，则表明该水平可能成为支撑或阻力水平。

• 预测未来价格走势

指数移动平均线可以用于预测未来价格走势。如果短期指数移动平均线向上突破长期指数移动平均线，则表明价格可能继续上涨。反之，如果短期指数移动平均线向下突破长期指数移动平均线，则表明价格可能继续下跌。

注意事项

在使用指数移动平均线时，需要注意以下事项：

• 指数移动平均线的周期长度会影响其敏感性。周期越短，指数移动平均线越敏感于短期波动；周期越长，指数移动平均线越敏感于长期趋势。
• 指数移动平均线可以与其他技术指标

reference

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