梯度@等值线@梯度运算法则

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梯度@等值线@梯度运算法则

文章目录

• • 梯度
  • • 点处梯度
    • 函数梯度
    • 梯度和方向导数的关系
  • 等值线
  • • 等值线法线和梯度
    • 三元函数梯度
    • 点处梯度
    • 函数梯度
    • 梯度长度
    • 等值面
  • 梯度运算法则

梯度

• 梯度是一个与方向导数相关的概念,梯度本质上是向量,是由各个自变量的偏导数定义的向量;梯度通常充当方向导数(函数变化率)的最值的角色

点处梯度

• 在二元函数的情形下,设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在平面区域 D D D内具有一阶连续偏导数,则对于没一点 P 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D P_{0}(x_0,y_0)\in{D} P0​(x0​,y0​)∈D,都可以定出一个向量,其坐标分解式为: f x ( x 0 , y 0 ) i f_{x}(x_0,y_0)\bold{i} fx​(x0​,y0​)i+ f y ( x 0 + y 0 ) j f_{y}(x_0+y_0)\bold{j} fy​(x0​+y0​)j
• 该向量称为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的梯度(或梯度向量),记为 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​)或 ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla{f(x_0,y_0)} ∇f(x0​,y0​),即:

  • g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​)= ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla{f(x_0,y_0)} ∇f(x0​,y0​)= f x ( x 0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j f_{x}(x_0,y_0)\bold{i}+f_{y}(x_0,y_0)\bold{j} fx​(x0​,y0​)i+fy​(x0​,y0​)j;若向量写成坐标式,为 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​)= ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) (f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)) (fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))

  • 其中 ∇ \nabla ∇= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j \frac{\partial}{\partial{x}}\bold{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\bold{j} ∂x∂​i+∂y∂​j,称为二维向量微分算子或Nabla算子

  • ∇ f \nabla{f} ∇f= ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ x j \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\bold{i}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\bold{j} ∂x∂f​i+∂x∂f​j

• 这种定义是抽象自方向导数的计算公式

函数梯度

• g r a d f ( x , y ) \bold{grad}{f(x,y)} gradf(x,y)= ( f x ( x , y ) , f y ( x , y ) ) (f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)) (fx​(x,y),fy​(x,y))= ( z x , z y ) (z_{x},z_{y}) (zx​,zy​)

梯度和方向导数的关系

• 若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)可微分, e l \bold{e}_{l} el​= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (\cos\alpha,\cos\beta) (cosα,cosβ)是与方向 l l l同向的单位向量,则

  • ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β f_{x}(x_0,y_0)\cos{\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)\cos{\beta} fx​(x0​,y0​)cosα+fy​(x0​,y0​)cosβ= ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0))(\cos\alpha,\cos\beta) (fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))(cosα,cosβ)
    • = g r a d f ( x 0 , y 0 ) ⋅ e l \bold{grad}{f(x_0,y_0)}\cdot{\bold{e}_{l}} gradf(x0​,y0​)⋅el​= ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ ∣ e l ∣ ⋅ cos ⁡ θ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}||\bold{e}_{l}|\cdot\cos\theta ∣gradf(x0​,y0​)∣∣el​∣⋅cosθ
    • = ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ ⋅ cos ⁡ θ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}|\cdot\cos\theta ∣gradf(x0​,y0​)∣⋅cosθ(1)
  • 其中 θ = < g r a d f ( x 0 , y 0 ) , e l > \theta=<\bold{grad}{f(x_0,y_0)},\bold{e}_{l}> θ=<gradf(x0​,y0​),el​>

• 式(1)表明,函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间存在关系

  • 梯度向量的方向是函数增长最快的方向;梯度向量反向是函数减少最快的方向

  • 梯度向量的模就是函数沿梯度方向的变化率

• 当 θ = 0 \theta=0 θ=0时,即方向 e l \bold{e}_{l} el​与梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)的方向相同时,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)增加最快

  • 函数在梯度方向的方向导数达到最大值,这个最大值就是梯度的模,即 ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​= ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ |\bold{grad}f(x_0,y_0)| ∣gradf(x0​,y0​)∣

• 当 θ = π \theta=\pi θ=π,即方向 e l \bold{e}_{l} el​与梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)的方向相反时,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)减少最快

  • 函数在这个方向的方向导数达到最小值,即 ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​= − ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ -|\bold{grad}f(x_0,y_0)| −∣gradf(x0​,y0​)∣

• 当 θ = π 2 \theta=\frac{\pi}{2} θ=2π​,即方向 e l \bold{e}_{l} el​与梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)的方向正交时,函数的变化率为0,即

  • ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​= ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ cos ⁡ π 2 |\bold{grad}f(x_0,y_0)|\cos\frac{\pi}{2} ∣gradf(x0​,y0​)∣cos2π​=0

等值线

• 在研究一个物理量 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)在某一区域的分布时,常常需要考虑这个区域内有相同物理量的点,也就是使 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)取得相同值得各个点

• 一般地,二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在几何上时一个曲面 C C C

  • 若用一个平面 z = c z=c z=c,( c c c是常数)去截该曲面 C C C得的曲线 L L L的方程为 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y); z = c z=c z=c(1)
  • 则曲线 L L L在 x O y xOy xOy面上的投影式一条平面曲线 L ′ L' L′,其方程为 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f(x,y)=c(将方程组(1)中的 z z z消去即得)
  • 对于 L ′ L' L′上的一切点 ( x , y ) (x,y) (x,y), f f f的函数值都为 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f(x,y)=c,因此称平面曲线 L ′ L' L′为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的等值线(等量线)

• 若 f x , f y f_x,f_y fx​,fy​不同时为0,则等值线 L ′ : f ( x , y ) = c L':f(x,y)=c L′:f(x,y)=c上任意一点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)处的一个

  • 法向量为 m = ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) \bold{m}=(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)) m=(fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))
  • 单位法向量为 n \bold{n} n= 1 f x 2 ( x 0 , y 0 ) + f y 2 ( x 0 , y 0 ) ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) \frac{1}{\sqrt{f_{x}^2(x_0,y_0)+f_{y}^{2}(x_0,y_0)}}(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)) fx2​(x0​,y0​)+fy2​(x0​,y0​) ​1​(fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))= g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ \frac{\bold{grad}{f(x_0,y_0)}}{|\bold{grad}f(x_0,y_0)|} ∣gradf(x0​,y0​)∣gradf(x0​,y0​)​(2)
  • 将(2)变形,可得 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)= ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ ⋅ n |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}|\cdot{\bold{n}} ∣gradf(x0​,y0​)∣⋅n(2-1)

等值线法线和梯度

• 公式(2)表明函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​)的方向就是等值线 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f(x,y)=c在 P 0 P_{0} P0​点的法线方向 n \bold{n} n
  • 对于二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)而言,其在 x O y xOy xOy上的投影等值线的法向量平行于 x O y xOy xOy,对应的法线属于 x O y xOy xOy
• 而梯度的模 ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}| ∣gradf(x0​,y0​)∣就是沿法线方向(梯度方向)的方向导数 ∂ f ∂ n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}} ∂n∂f​,即 ∂ f ∂ n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}} ∂n∂f​= ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}| ∣gradf(x0​,y0​)∣(3)
• 于是根据向量可以表示为该向量的模长乘以该向量的单位方向向量,有 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)= ∂ f ∂ n n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}}\bold{n} ∂n∂f​n(4),代入(3)可知,式(4)和(2-1)是相当的

三元函数梯度

点处梯度

• 二元函数的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形

• 设函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在空间区域 G G G内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ G P_{0}(x_0,y_0,z_0)\in{G} P0​(x0​,y0​,z0​)∈G,都可以定义处一个向量: ∂ u ∂ x ∣ P 0 i + ∂ u ∂ y ∣ P 0 j + ∂ u ∂ x ∣ P 0 k \frac{\partial{u}}{\partial{x}}|_{P_{0}}i+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}|_{P_{0}}j+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}|_{P_{0}}k ∂x∂u​∣P0​​i+∂y∂u​∣P0​​j+∂x∂u​∣P0​​k,即 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j + f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) k f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{i}+f_{y}(x_0,y_0,z_0)\bold{j}+f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{k} fx​(x0​,y0​,z0​)i+fy​(x0​,y0​,z0​)j+fx​(x0​,y0​,z0​)k,此向量称为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在点 P 0 P_{0} P0​处的梯度,记为: g r a d u ∣ P 0 \bold{grad}{u}|_{P_0} gradu∣P0​​或 g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​)或 ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \nabla{f(x_0,y_0,z_0)} ∇f(x0​,y0​,z0​),即

  • g r a d u ∣ P 0 \bold{grad}{u}|_{P_0} gradu∣P0​​= g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​)= ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \nabla{f(x_0,y_0,z_0)} ∇f(x0​,y0​,z0​)= f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j + f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) k f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{i}+f_{y}(x_0,y_0,z_0)\bold{j}+f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{k} fx​(x0​,y0​,z0​)i+fy​(x0​,y0​,z0​)j+fx​(x0​,y0​,z0​)k

  • 其中 ∇ \nabla ∇= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k \frac{\partial}{\partial{x}}\bold{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\bold{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\bold{k} ∂x∂​i+∂y∂​j+∂z∂​k,称为三维向量微分算子或Nabla算子

  • ∇ f \nabla{f} ∇f= ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\bold{i}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\bold{j}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\bold{k} ∂x∂f​i+∂y∂f​j+∂z∂f​k

• 三元函数梯度和二元函数梯度有完全类似的结论

函数梯度

• g r a d f ( x , y , z ) \bold{grad}{f(x,y,z)} gradf(x,y,z)= ( f x ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) , f z ( x , y , z ) ) (f_{x}(x,y,z),f_{y}(x,y,z),f_{z}(x,y,z)) (fx​(x,y,z),fy​(x,y,z),fz​(x,y,z))= ( u x , u y , u z ) (u_{x},u_{y},u_{z}) (ux​,uy​,uz​)

梯度长度

• ∣ g r a d u ∣ = ( ∂ u ∂ x ) 2 + ( ∂ u ∂ y ) 2 + ( ∂ u ∂ z ) 2 |\bold{grad}{u}|=\sqrt{(\frac{\partial{u}}{\partial{x}})^2 +(\frac{\partial{u}}{\partial{y}})^2 +(\frac{\partial{u}}{\partial{z}})^2} ∣gradu∣=(∂x∂u​)2+(∂y∂u​)2+(∂z∂u​)2 ​

等值面

• 若引入去曲面: f ( x , y , z ) = c f(x,y,z)=c f(x,y,z)=c为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)的等值面,可得 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的梯度 ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \nabla{f(x_0,y_0,z_0)} ∇f(x0​,y0​,z0​)的方向就是等值面 f ( x , y , z ) = c f(x,y,z)=c f(x,y,z)=c在这点的法线方向 n \bold{n} n
  • 法向量为 m = ( f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) \bold{m}=(f_{x}(x_0,y_0,z_0),f_{y}(x_0,y_0,z_0),f_{z}(x_0,y_0,z_0)) m=(fx​(x0​,y0​,z0​),fy​(x0​,y0​,z0​),fz​(x0​,y0​,z0​)),恰为 g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​)
  • 单位法向量为 n \bold{n} n= 1 ∣ m ∣ m \frac{1}{|\bold{m}|}\bold{m} ∣m∣1​m= g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ \frac{\bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)}}{|\bold{grad}f(x_0,y_0,z_0)|} ∣gradf(x0​,y0​,z0​)∣gradf(x0​,y0​,z0​)​
• 并且 ∂ f ∂ n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}} ∂n∂f​= ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ |\bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)}| ∣gradf(x0​,y0​,z0​)∣,即 g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​)= ∂ f ∂ n n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}}\bold{n} ∂n∂f​n

梯度运算法则

• g r a d ( u 1 ± u 2 ) \bold{grad}(u_1\pm{u_2}) grad(u1​±u2​)= g r a d u 1 ± g r a d u 2 \bold{grad}u_1\pm\bold{grad}u_2 gradu1​±gradu2​

  • 令 u = u 1 + u 2 u=u_1+u_2 u=u1​+u2​;规定, u 1 x u_{1x} u1x​表示对 u 1 u_1 u1​求关于 x x x的偏导, u 2 x , u 1 y , u 2 y u_{2x},u_{1y},u_{2y} u2x​,u1y​,u2y​并作类似的规定
  • 等式 g r a d u \bold{grad}{u} gradu= ( u x , u y ) (u_{x},u_{y}) (ux​,uy​)= ( u 1 x + u 2 x , u 1 y + u 2 y ) (u_{1x}+u_{2x},u_{1y}+u_{2y}) (u1x​+u2x​,u1y​+u2y​)= ( u 1 x , u 1 y ) + ( u 2 x , u 2 y ) (u_{1x},u_{1y})+(u_{2x},u_{2y}) (u1x​,u1y​)+(u2x​,u2y​)= g r a d u 1 ± g r a d u 2 \bold{grad}u_1\pm\bold{grad}u_2 gradu1​±gradu2​

• g r a d u 1 u 2 \bold{grad}u_1u_2 gradu1​u2​= u 1 g r a d u 2 + u 2 g r a d u 1 u_1\bold{grad}u_2+u_2\bold{grad}u_1 u1​gradu2​+u2​gradu1​

  • 下面用2套符号分别推导 u 1 , u 2 u_1,u_2 u1​,u2​为二元和三元函数情形下的法则成立

  • 令 u = u 1 u 2 u=u_1u_2 u=u1​u2​

  • 二元情形:

    • g r a d u \bold{grad}u gradu= ( u x , u y ) (u_{x},u_{y}) (ux​,uy​)= ( u 1 x u 2 + u 1 u 2 x , u 1 y u 2 + u 1 u 2 y ) (u_{1x}u_2+u_1u_{2x},u_{1y}u_{2}+u_{1}u_{2y}) (u1x​u2​+u1​u2x​,u1y​u2​+u1​u2y​)= ( u 1 x u 2 , u 1 y u 2 ) (u_{1x}u_2,u_{1y}u_2) (u1x​u2​,u1y​u2​)+ ( u 1 u 2 x , u 1 u 2 y ) (u_{1}u_{2x},u_1u_{2y}) (u1​u2x​,u1​u2y​)= u 2 ( u 1 x , u 1 y ) u_{2}(u_{1x},u_{1y}) u2​(u1x​,u1y​)+ u 1 ( u 2 x , u 2 y ) u_{1}(u_{2x},u_{2y}) u1​(u2x​,u2y​)= u 1 g r a d u 2 + u 2 g r a d u 1 u_1\bold{grad}u_2+u_2\bold{grad}u_1 u1​gradu2​+u2​gradu1​

  • 三元情形:

  • g r a d u = ∂ u ∂ x i + ∂ u ∂ y j + ∂ u ∂ x k ∂ u 1 u 2 ∂ x i = ( ∂ u 1 ∂ x u 2 + u 1 ∂ u 2 ∂ x ) i ∂ u 1 u 2 ∂ y j = ( ∂ u 1 ∂ y u 2 + u 1 ∂ u 2 ∂ y ) j ∂ u 1 u 2 ∂ z k = ( ∂ u 1 ∂ z u 2 + u 1 ∂ u 2 ∂ z ) k \bold{grad}{u}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}i+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}j+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}k \\ \frac{\partial{u_1u_2}}{\partial{x}}i =(\frac{\partial{u_1}}{\partial{x}}u_2 +u_1\frac{\partial{u_2}}{\partial{x}})i \\ \frac{\partial{u_1u_2}}{\partial{y}}j =(\frac{\partial{u_1}}{\partial{y}}u_2 +u_1\frac{\partial{u_2}}{\partial{y}})j \\ \frac{\partial{u_1u_2}}{\partial{z}}k =(\frac{\partial{u_1}}{\partial{z}}u_2 +u_1\frac{\partial{u_2}}{\partial{z}})k gradu=∂x∂u​i+∂y∂u​j+∂x∂u​k∂x∂u1​u2​​i=(∂x∂u1​​u2​+u1​∂x∂u2​​)i∂y∂u1​u2​​j=(∂y∂u1​​u2​+u1​∂y∂u2​​)j∂z∂u1​u2​​k=(∂z∂u1​​u2​+u1​∂z∂u2​​)k

  • 上述3个式子两侧分别相加:

  • g r a d u 1 u 2 = u 2 ( ∂ u 1 ∂ x i + ∂ u 1 ∂ y j + ∂ u 1 ∂ z k ) + u 1 ( ∂ u 2 ∂ x i + ∂ u 2 ∂ y j + ∂ u 2 ∂ z k ) = u 1 g r a d u 2 + u 2 g r a d u 1 \bold{grad}{u_1u_2}= u_2(\frac{\partial{u_1}}{\partial{x}}i+\frac{\partial{u_1}}{\partial{y}}j+\frac{\partial{u_1}}{\partial{z}}k) +u_1(\frac{\partial{u_2}}{\partial{x}}i+\frac{\partial{u_2}}{\partial{y}}j+\frac{\partial{u_2}}{\partial{z}}k) \\ =u_1\bold{grad}u_2+u_2\bold{grad}u_1 gradu1​u2​=u2​(∂x∂u1​​i+∂y∂u1​​j+∂z∂u1​​k)+u1​(∂x∂u2​​i+∂y∂u2​​j+∂z∂u2​​k)=u1​gradu2​+u2​gradu1​

• g r a d F ( u ) = F ′ ( u ) g r a d u \bold{grad}F(u)=F'(u)\bold{grad}{u} gradF(u)=F′(u)gradu

  • g r a d F ( u ) = ∂ F ( u ) ∂ x i + ∂ F ( u ) ∂ y j + ∂ F ( u ) ∂ x k = ∂ F ( u ) ∂ u ∂ u ∂ x i + ∂ F ( u ) ∂ u ∂ u ∂ y j + ∂ F ( u ) ∂ u ∂ u ∂ z k = ∂ F ( u ) ∂ u ( ∂ u ∂ x i + ∂ u ∂ y j + ∂ u ∂ x k ) = ∂ F ( u ) ∂ u g r a d u = F ′ ( u ) g r a d u \bold{grad}F(u)= \frac{\partial{F(u)}}{\partial{x}}i+\frac{\partial{F(u)}}{\partial{y}}j+\frac{\partial{F(u)}}{\partial{x}}k\\ =\frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}i +\frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}}j +\frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{z}}k \\ =\frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}(\frac{\partial{u}}{\partial{x}}i+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}j+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}k) =\frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\bold{grad}u =F'(u)\bold{grad}u gradF(u)=∂x∂F(u)​i+∂y∂F(u)​j+∂x∂F(u)​k=∂u∂F(u)​∂x∂u​i+∂u∂F(u)​∂y∂u​j+∂u∂F(u)​∂z∂u​k=∂u∂F(u)​(∂x∂u​i+∂y∂u​j+∂x∂u​k)=∂u∂F(u)​gradu=F′(u)gradu