矩阵的迹和矩阵的特征值的关系：tr(A)=Σλ(A)

矩阵的迹和矩阵的特征值的关系：tr(A)=Σλ(A)"/>

矩阵的迹和矩阵的特征值的关系：tr(A)=Σλ(A)

矩阵的迹和矩阵的特征值的关系：tr(A)=Σλ(A)

这篇博客将讨论矩阵的迹和矩阵的特征值的关系。

1、矩阵的迹

矩阵的迹(trace)通常定义为矩阵对角元的和。因此只有方阵才有迹。
t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} tr(A)=i=1∑n​aii​

2、矩阵的特征值

把矩阵看成线性变换系统，输入信号经过线性系统波形不变，仅仅是幅度上乘以一个常数。

y = Ax = λx

求法：解特征方程式。

1. f(λ) = det(λE-A)=0，f(λ)称为特征多项式，是关于λ的一元n次多项式。

2. 根据代数基本定理，f(λ)在复数域可以因式分解为： f ( λ ) = Π i = 1 n ( λ − λ i ) = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 f(\lambda) = \Pi_{i=1}^{n}(\lambda - \lambda_i) = a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots+a_1\lambda+a0 f(λ)=Πi=1n​(λ−λi​)=an​λn+an−1​λn−1+⋯+a1​λ+a0

3. 根据韦达定理：

   1. λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = − a n − 1 a n \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} λ1​+λ2​+⋯+λn​=−an​an−1​​
   2. λ 1 λ 2 ⋯ λ n = − a 0 a n \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = -\frac{a_{0}}{a_n} λ1​λ2​⋯λn​=−an​a0​​

4. 关注det(λE-A) = λ n − ( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) λ n − 1 + ⋯ + 常数项 \lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots+常数项 λn−(a11​+a22​+⋯+ann​)λn−1+⋯+常数项

5. 一对比，显然得 t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i tr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i tr(A)=∑i=1n​λi​

6. det(λE-A) 展开之后，只有对角元相乘，才会包含 λ n \lambda^n λn和 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1。

7. det(λE-A)，令λ=0，则得到det(-A) = (-1)ⁿdet(A) = a₀=特征多项式的常数项

到目前为止，和一般教材上的内容都差不多。下面在多介绍一点儿韦达定理，这有利于理解上述结论是如何得出的。

3、韦达定理

1. 一元二次方程：ax²+bx+c=0
   1. x1+x2 = -b/a;
   2. x1·x2 = c/a
2. 一元n次方程： a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots+a_1x+a0 = a_n(x-x_1)(x-x2)\cdots(x-x_n) an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0=an​(x−x1​)(x−x2)⋯(x−xn​)=0;
   1. 上式代数基本定理保证成立，x_i是方程的根，属于复数域；
   2. 右端 = a n [ x n − ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) x n − 1 ] − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x n − 1 x n ) x n − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋯ x n ] 右端=\begin{aligned}a_n[&x^n-(x_1+x_2+\cdots+x_n)x^{n-1}]-\\&(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n)x^{n-2}+\cdots+\\&(-1)^nx_1x_2\cdots x_n]\end{aligned} 右端=an​[​xn−(x1​+x2​+⋯+xn​)xn−1]−(x1​x2​+x1​x3​+⋯+xn−1​xn​)xn−2+⋯+(−1)nx1​x2​⋯xn​]​
   3. 对比系数得：
      1. ∑ x i = ( − 1 ) 1 a n − 1 a n \sum x_i = (-1)^1 \frac{a_{n-1}}{a_n} ∑xi​=(−1)1an​an−1​​;
      2. ∑ x i x j = ( − 1 ) 2 a n − 2 a n \sum x_i x_j= (-1)^2 \frac{a_{n-2}}{a_n} ∑xi​xj​=(−1)2an​an−2​​;
      3. ∑ x i x j x k = ( − 1 ) 3 a n − 3 a n \sum x_i x_j x_k= (-1)^3 \frac{a_{n-3}}{a_n} ∑xi​xj​xk​=(−1)3an​an−3​​;
      4. x 1 x 2 ⋯ x n = ( − 1 ) n a 0 a n x_1x_2\cdots x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} x1​x2​⋯xn​=(−1)nan​a0​​.
   4. 3.1和3.4用的最多