概率论和数理统计(三)数理统计基本概念

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概率论和数理统计(三)数理统计基本概念

前言

“概率论”是给定一个随机变量X的分布F(x),然后求某事件A概率 P ( x ∈ A ) P(x \in A) P(x∈A)或者随机变量X的数字特征.“统计”是已知一组样本数据 { x 1 , x 2 , . . . x n } \{x_1,x_2,...x_n\} {x1​,x2​,...xn​},去求分布F(x)

统计的基本概念

在统计中，总体X的分布要么未知，要么分布形式已知但参数未知，需要抽取部分个体来推断。

总体与样本

代表性的进一步解释: X i X_i Xi​与总体 X X X 同分布。保证总体中每个值都有同样的机会被抽到

关于样本是谁随机变量,还是值?

• 当代入总体分布函数时是值
• 当样本分布函数(抽样分布)分析的时候是随机变量

简单随机样本的性质

统计量

统计量来自总体一个样本，不含任何未知参数，完全由样本来确定，也就是说，根据样本可以求出我们需要的任何一个统计量的值。

常用统计量

为什么样本方差的分母是 n-1？
只要采样数小于个体数，采样本身就会引入分布的误差，因此需要进行较正。
采样带来的误差就是原来分布的强化，是可以计算的n/(n-1)的修正并非随便给的

如图 E [ S 2 ] ∗ n / ( n − 1 ) E[S^2]*n/(n-1) E[S2]∗n/(n−1)是正常的方差,所以修正过的样本方差 = 末修正过的样本方差*n/(n-1),

抽样分布

样本统计量的分布称为抽样分布.他通常也是随机变量X的分布函数.抽样分布中，最常用的分布其实是4种：z 分布（即正态分布）、卡方分布、t分布、F分布。

卡方分布

• 关于标准正态N(0,1):EX=0,DX=1
• 根据总体标准正态,求得样本卡方分布: EX=n,DX=2n
• ∑ i = 1 n E ( X i 2 ) = ∑ i = 1 n E ( ( X i − X ˉ + X ˉ ) 2 ) \sum_{i=1}^nE(X_i^2) = \sum_{i=1}^nE((X_i-\bar{X}+\bar{X})^2) ∑i=1n​E(Xi2​)=∑i=1n​E((Xi​−Xˉ+Xˉ)2)
• = ∑ i = 1 n E ( ( X i − X ˉ ) 2 + 2 X i X ˉ − X ˉ 2 ) ) = \sum_{i=1}^nE((X_i-\bar{X})^2+2X_i\bar{X}-\bar{X}^2)) =∑i=1n​E((Xi​−Xˉ)2+2Xi​Xˉ−Xˉ2))
• = ∑ i = 1 n [ D ( X i ) + E 2 ( X i ) ] = \sum_{i=1}^n[D(X_i)+E^2(X_i)] =∑i=1n​[D(Xi​)+E2(Xi​)]

参数估计

主要解决总体分布形式已知但参数未知,即总体 X X X分布函数 F ( x , θ ) F(x, \theta) F(x,θ) 形式已知，估计未知参数 θ \theta θ。

点估计

矩估计法

极大似然估计

极大似然估计以“我抽样出来的情况就是最大概率”的情况为前提,求参数 θ \theta θ的最大值.

估计量的优良性评判

既然是估计量，那与真实值之间就存在误差，因此需要判断估计量是否满足我们的要求，可以通过下面的几个准则来进行评判。

区间估计

矩估计法的前提是基于“抽样分布”和“主分布”是一致的情况下. 区间估计法则是表示定置水平一致的情况下,你去构建枢轴变量(带未知数统计量)和抽样分布,最终确定未知量

定置水平的理解: 你要估计全班的身高, 抽样了10得出了身高区间(a,b),然后给出了全部97%的人,身高在(a,b).97%就属于定置水平

x ˉ − u σ / n {{\bar{x}-u} \over {\sigma}/\sqrt{n}} σ/n ​xˉ−u​是正态分布 N ( u , σ 2 ) N(u,\sigma^2) N(u,σ2)转为标准正态 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)的随机变量X的转换关系

统计量参考

假设检验

假设检验的基本原理：给定一个假设 H 0 H_0 H0​，为了检验 H 0 H_0 H0​是否正确，首先假定 H 0 H_0 H0​是正确的，然后根据抽取到的样本来判断是接收还是拒绝该假设。如果样本中出现了不合理的观测值，应该拒绝 H 0 H_0 H0​，否则应该接受假设

1. 观测值:即样本的统计量
2. “不合理”指的是小概率事件发生，常用 α \alpha α来表示这个小概率，也被称为检验的显著性水平 (与点估计中区间估计中的信置水平,差不多的功能).

拒绝域与临界值

从某种意义上说，设计一个检验，本质上就是找到一个恰当的拒绝域W，使得当 H 0 H_0 H0​成立时
P ( x ∈ W ∣ H 0 成立 ) = α P(x \in W|H_0成立)=\alpha P(x∈W∣H0​成立)=α
即把“小概率事件”视为与拒绝域 W W W是等价的

假设检验存在两类错误

• 通常只规定 α \alpha α的取值，即控制犯第I类错误的概率
• 使犯第二类错误的概率尽可能小，要使两者犯错的概率都小，就必须增大样本容量。

假设检验的基本步骤

统计量参考

关于为什么总分布都是以正态分布?

因为中心极限定理。自然界的很多现象都是由无数微小因素的叠加而产生的，而无论这种因素服从何种分布，在大尺度上来观察，其结果都应大致符合正态分布。
网上有一篇文章叫《正态分布的前世今生》，非常推荐学习概率统计的人读一读。

主要参考

《为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1》
《数理统计学习笔记01：数理统计的基本概念》
《数理统计学习笔记03：参数的点估计》
《第六章 数理统计的基本概念》
《第七章 参数估计》
《期末复习——概率论与数理统计基本概念总结》
《第八章 假设检验》