夏普利值（the Shapley Value）的定義和舉例

[1]Matt Jackson (Stanford), GTO-7-03: The Shapley Value, Game Theory Online, Nov 22, 2013, https://www.youtube/watch?v=qcLZMYPdpH4&list=PLeY-lFPWgBTif4PmLSN8eJsfOhFv_QUPl&index=3

[2]Kevin Leyton-Brown (UBC), GTO-7-04: The Core, Nov 22, 2013, Game Theory Online, https://www.youtube/watch?v=DW_-I8UuU6I&list=PLeY-lFPWgBTif4PmLSN8eJsfOhFv_QUPl&index=4

[3]Lloyd S. Shapley, A value for n-person games,  "The Shapley value -Essays in honor of Lloyd S. Shapley Edited by Alvin E. Roth", Chapter 2, http://www.library.fa.ru/files/roth2.pdf

[4]王培志 杨依山，『2012年度诺贝尔经济学奖得主学术贡献评介』，http://www.jjxdt/home/show?channelID=11904&itemID=84930

[5]Matt Jackson (Stanford), GTO-7-05: Comparing the Core and the Shapley Value in an Example, Nov 22, 2013, Game Theory Online, https://www.youtube/watch?v=zmtFhP4cMhQ&list=PLeY-lFPWgBTif4PmLSN8eJsfOhFv_QUPl&index=5

【轉註】夏普利值（the Shapley Value，又稱沙普利值[4]），用於定義團隊內部各成員的收益分配。Shapley先生定義該值的原因見其1953年發表的論文[3]，他期望評估團隊博弈（coalition，或cooperative games）的博弈價值，進而定義每個成員分配得到多少（夏普利值）：

博弈論的基礎是一個假設：參與者（players，又稱玩家）可以評估他們的收益（utility），參加博弈有望收穫更多（prospect）。將這個理論運用到各領域時，一個人會期望被允許考慮參加遊戲可獲取什麼（having）。

Jackson教授介紹夏普利值的思想[1]：每個參與者的收益要和他們的邊際貢獻（marginal contributions）成正比。

設集合是所有參與者的集合，。

設博弈價值函數為。的定義域是集合的子集，值域是實數。是可優加（superadditive）的集合函數。

我這樣理解“優加性”（superadditivity）：人們組隊參加博弈，因為團隊運作的收益有望高於單幹每個人收益的總和，從而每個人分配可得更多。比如，個人聯合起來開公司的收益高於個人self-employed的收益總和。

以下介紹三大公理[1]。

我們稱參與者和是可互換（interchangeable）的，如果對於所有，。可互換的參與者得到的收益相同。

公理1：Symmetry。任意，如果參與者和可互換，則其夏普利值相等，。

公理2：dummy player。我們稱參與者是無貢獻者（dummy player），如果其對團隊的貢獻是0，即對於所有，。

 公理3：Additivity。如果一個遊戲可拆成兩個子遊戲，分別可評估博弈價值，那麼每個參與者的分配所得可以是兩個子遊戲的分配所得相加。

我們可以直覺地理解為兩個獨立項目的收益分別分給項目組成員。

現在定義夏普利值（Shapley value）。

這是參與者在所有小團隊內的邊際貢獻的平均值。我們通過例子來看為什麼是這個公式。

例1：投票[2]

國會有四個政黨（A、B、C、D）的成員組成，分別有45、25、15、15人。現在投票決定是否審批100百萬（=1億）美金作為政黨經費。按多數原則，即至少51人同意，才通過審批。

我們認為每個政黨內部的意見是統一的，所以可視為4個參與者，。

現在四個政黨的代表依次投票。那麼順序有以下24種排列（permutation）。

1        12        123        1234      ……（1）

1        12        124        1243      ……（2）

1        13        132        1324      ……（3）

1        13        134        1342      ……（4）

1        14        142        1423      ……（5）

1        14        143        1432      ……（6）

2        21        213        2134      ……（7）

2        21        214        2143      ……（8）

2        23        231        2314      ……（9）

2        23        234        2341      ……（10）

2        24        241        2413      ……（11）

2        24        243        2431      ……（12）

3        31        312        3124      ……（13）

3        31        314        3142      ……（14）

3        32        321        3214      ……（15）

3        32        324        3241      ……（16）

3        34        341        3412      ……（17）

3        34        342        3421      ……（18）

4        41        412        4123      ……（19）

4        41        413        4132      ……（20）

4        42        421        4213      ……（21）

4        42        423        4231      ……（22）

4        43        431        4312      ……（23）

4        43        432        4321      ……（24）

​​​​​​​

其中1第一出現的情形有(1)-(6)，6個，即。

1第二出現的情形有3個前置S，

(7)(8)，

(13)(14)，

(19)(20)，

1第三出現的情形有231(9)，241(11)，321(15)，341(17)，421(21)，431(23)，前置S有3個:，(9)(15)，

，(11)(21)，

，(17)(23),

1第四出現的情形有2341(10)，2431(12)，3241(16)，3421(18)，4231(22)，4321(24)。前置S只有1個。

以上所有值求平均值：

參與者2，3，4的計算同理。

例2：三人決策，兩票通過，但必含一個重要參與者。[5]

每個參與者的出場情形列舉如下：

1        12        123     ……（1）

1        13        132     ……（2）

2        21        213     ……（3）

2        23        231     ……（4）

3        31        312     ……（5）

3        32        321     ……（6）

​​​​​​​分析同上例。

例3：在線拍賣物品

假如Mia現在是淘寶店的老闆，賣一款野營凳，Mia進貨時100元，第一個顧客Rose認為這個商品值150元，第二個顧客Tom認為這個商品值200元。求此三人的夏普利值。

Mia、Rose、Tom為Player 1、2、3，。

每個人的出場順序，同例2。

這樣我們可以看出生產者和商人的夏普利值（即邊際貢獻）高出很多（佔本博弈價值的79%），出價高的買主夏普利值高。我們可以看到。

假設只有Rose一個買主就成交（Tom沒有參與），我們來計算Mia和Rose的夏普利值。

1 12

2 21

​​​​​​​兩個交易相比，可以看出，就GDP而言，出價高的人提高生產者和商人的邊際貢獻（夏普利值）的絕對值（158.3 vs. 125），降低其在博弈價值中的相對佔比（83% vs. 79%)。有出價更高的人的話，次高的人夏普利值變低（25 vs. 8.3）。聽說有的電商平台的商品價格是根據交易機器調整價格，這時候出場順序很重要，一個人早於Tom買，可以150成交，晚於Tom買，以200成交。這樣，出價低的人、創造力生產力和經商能力不足的人會越來越沒有購買力。也許是成熟商品、日用品價格保持穩定（或任店主手工調整），新銳產品根據交易量和有人願意出高價變化價格。