找到一个圆的中心（x和y位置），只有2个随机点和凸起(Find the center of a circle (x and y position) with only 2 random points

找到一个圆的中心（x和y位置），只有2个随机点和凸起(Find the center of a circle (x and y position) with only 2 random points and bulge)

我试图找到一个圆的中心。 我唯一的信息是：圆圈中的两个随机点和圆形凸起。 到目前为止，我已经设法计算圆的半径（至少我认为我做了）。 不幸的是，到目前为止，我已经使用过这种方法。

这些只是随机值，会根据用户输入而改变）

PointA（x = 10，y = 15）PointB（x = 6，y = 12）

circle_bulge = 0.41

距离= PointB - PointA

radius =（距离/ 4）*（circle_bulge +（1 / circle_bulge））

如果这个数学不正确，请告诉我，但请记住，我需要找到圆心的X和Y坐标

im trying to find the center of a circle. the only information I have is: Two random points in the circle and the circle bulge. So far i've manage to calculate the radius of the circle (at least i think i did). Ill post bellow the equasions ive used so far.

these are just random values and will change on user input)

PointA(x = 10, y = 15) PointB(x = 6, y = 12)

circle_bulge = 0.41

distance = PointB - PointA

radius = (distance / 4) * (circle_bulge + (1 / circle_bulge ))

if this math is incorrect, please let me know, but keep in mind that i need to find the X and Y coordinates of the center of the circle

最满意答案

这是问题的图片：

根据定义，凸起是b = tg（ Alpha / 4）

从三角公式：tg（2 角度 ）= 2tg（ 角度 ）/（1-tg ² （ 角度 ））

应用于角度 = Alpha / 4并使用凸起的定义：

tg（ Alpha / 2）= 2 b /（1- b ² ）

另一方面

tg（ Alpha / 2）= s / d

然后

s / d = 2 b /（1- b ² ）和

d = s （1- b ² ）/（2 b ）

这允许我们计算d因为b是已知的并且s = || B - A || / 2，其中|| B - A || 表示向量B - A的范数。

现在，让我们计算一下

（ u ， v ）=（ B - A ）/ || B - A ||

然后||（ u ， v ）|| = 1，（ v ， - u ）与B - A正交，我们有

C =（ v ， -u ） d +（ A + B ）/ 2

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UPDATE

用于计算中心的伪代码

输入：

A = (a1, a2), B = (b1, b2) "two points"; b "bulge"

计算：

"lengths" norm := sqrt(square(b1-a1) + square(b2-a2)). s := norm/2. d := s * (1-square(b))/(2*b) "direction" u := (b1-a1)/ norm. v := (b2-a2)/ norm. "center" c1 := -v*d + (a1+b1)/2. c2 := u*d + (a2+b2)/2. Return C := (c1, c2)

注意：中心有两种解决方案，另一种是

c1 := v*d + (a1+b1)/2. c2 := -u*d + (a2+b2)/2. Return C := (c1, c2)

Here is a picture of the problem:

By definition the bulge is b = tg(Alpha/4)

From the trigonometric formula: tg(2 angle) = 2tg(angle)/(1-tg²(angle))

applied to angle = Alpha/4 and using the definition of bulge:

tg(Alpha/2) = 2 b/(1-b²)

On the other hand

tg(Alpha/2) = s/d

Then

s/d = 2 b/(1-b²) and

d = s(1-b²)/(2 b)

which allows us to calculate d because b is known and s = ||B - A||/2, where ||B - A|| denotes the norm of the vector B - A.

Now, let's calculate

(u,v) = (B - A)/||B - A||

Then ||(u,v)|| = 1, (v,-u) is orthogonal to B - A, and we have

C = (v,-u)d + (A+B)/2

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UPDATE

Pseudo code to compute the center

Inputs:

A = (a1, a2), B = (b1, b2) "two points"; b "bulge"

Calculations:

"lengths" norm := sqrt(square(b1-a1) + square(b2-a2)). s := norm/2. d := s * (1-square(b))/(2*b) "direction" u := (b1-a1)/ norm. v := (b2-a2)/ norm. "center" c1 := -v*d + (a1+b1)/2. c2 := u*d + (a2+b2)/2. Return C := (c1, c2)

Note: There are two solutions for the Center, the other one being

c1 := v*d + (a1+b1)/2. c2 := -u*d + (a2+b2)/2. Return C := (c1, c2)